Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28109 / 21589
↖ ↑ ↗
← N 52.197507°
W 25.592651°		 ← 374.38 m → N 52.197507°
W 25.587158°		 →
↑
374.42 m
↓
↑
374.42 m
↓
N 52.194140°
W 25.592651°		 ← 374.41 m →
140 181 m²		 N 52.194140°
W 25.587158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428916931152344 y=0.329429626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428916931152344 × 216)
    floor (0.428916931152344 × 65536)
    floor (28109.5)     		tx = 28109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329429626464844 × 216)
    floor (0.329429626464844 × 65536)
    floor (21589.5)     		ty = 21589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28109 / 21589 ti = "16/28109/21589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28109/21589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28109 ÷ 216
    28109 ÷ 65536     		x = 0.428909301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21589 ÷ 216
    21589 ÷ 65536     		y = 0.329421997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428909301757812 × 2 - 1) × π
    -0.142181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44667603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329421997070312 × 2 - 1) × π
    0.341156005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07177320170522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44667603} λ = -0.44667603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07177320170522))-π/2
    2×atan(2.92055364192063)-π/2
    2×1.24090734138149-π/2
    2.48181468276298-1.57079632675     		φ = 0.91101836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44667603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.592651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91101836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.197507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28109 KachelY 21589 -0.44667603 0.91101836 -25.592651 52.197507
    Oben rechts KachelX + 1 28110 KachelY 21589 -0.44658016 0.91101836 -25.587158 52.197507
    Unten links KachelX 28109 KachelY + 1 21590 -0.44667603 0.91095959 -25.592651 52.194140
    Unten rechts KachelX + 1 28110 KachelY + 1 21590 -0.44658016 0.91095959 -25.587158 52.194140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91101836-0.91095959) × R
    5.87699999999858e-05 × 6371000     		dl = 374.423669999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91101836-0.91095959) × R
    5.87699999999858e-05 × 6371000     		dr = 374.423669999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44667603--0.44658016) × cos(0.91101836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612941432354764 × 6371000     		do = 374.377130608564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44667603--0.44658016) × cos(0.91095959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.612987867139009 × 6371000     		du = 374.405492406884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91101836)-sin(0.91095959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612941432354764-0.612987867139009)×R²
    abs(-0.44658016--0.44667603)×4.64347842459301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64347842459301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64347842459301e-05×40589641000000     		ar = 140180.968911353m²