Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28108 / 7100
↖ ↑ ↗
← N 80.242225°
W 25.598144°		 ← 103.52 m → N 80.242225°
W 25.592651°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
N 80.241294°
W 25.598144°		 ← 103.53 m →
10 718 m²		 N 80.241294°
W 25.592651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428901672363281 y=0.108345031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428901672363281 × 216)
    floor (0.428901672363281 × 65536)
    floor (28108.5)     		tx = 28108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108345031738281 × 216)
    floor (0.108345031738281 × 65536)
    floor (7100.5)     		ty = 7100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28108 / 7100 ti = "16/28108/7100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28108/7100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28108 ÷ 216
    28108 ÷ 65536     		x = 0.42889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7100 ÷ 216
    7100 ÷ 65536     		y = 0.10833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.1422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44677190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10833740234375 × 2 - 1) × π
    0.7833251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4608886788952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44677190} λ = -0.44677190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4608886788952))-π/2
    2×atan(11.7152179822767)-π/2
    2×1.48564367823582-π/2
    2.97128735647164-1.57079632675     		φ = 1.40049103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44677190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.598144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40049103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.242225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28108 KachelY 7100 -0.44677190 1.40049103 -25.598144 80.242225
    Oben rechts KachelX + 1 28109 KachelY 7100 -0.44667603 1.40049103 -25.592651 80.242225
    Unten links KachelX 28108 KachelY + 1 7101 -0.44677190 1.40047478 -25.598144 80.241294
    Unten rechts KachelX + 1 28109 KachelY + 1 7101 -0.44667603 1.40047478 -25.592651 80.241294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40049103-1.40047478) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40049103-1.40047478) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44677190--0.44667603) × cos(1.40049103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169483237048342 × 6371000     		do = 103.518288409136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44677190--0.44667603) × cos(1.40047478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169499251938354 × 6371000     		du = 103.528070108093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40049103)-sin(1.40047478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169483237048342-0.169499251938354)×R²
    abs(-0.44667603--0.44677190)×1.60148900122115e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60148900122115e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60148900122115e-05×40589641000000     		ar = 10717.6253450413m²