Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28108 / 43196
↖ ↑ ↗
← S 49.596470°
W 25.598144°		 ← 395.89 m → S 49.596470°
W 25.592651°		 →
↑
395.89 m
↓
↑
395.89 m
↓
S 49.600030°
W 25.598144°		 ← 395.86 m →
156 726 m²		 S 49.600030°
W 25.592651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428901672363281 y=0.659126281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428901672363281 × 216)
    floor (0.428901672363281 × 65536)
    floor (28108.5)     		tx = 28108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659126281738281 × 216)
    floor (0.659126281738281 × 65536)
    floor (43196.5)     		ty = 43196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28108 / 43196 ti = "16/28108/43196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28108/43196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28108 ÷ 216
    28108 ÷ 65536     		x = 0.42889404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43196 ÷ 216
    43196 ÷ 65536     		y = 0.65911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42889404296875 × 2 - 1) × π
    -0.1422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44677190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.3182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.999771978475891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44677190} λ = -0.44677190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999771978475891))-π/2
    2×atan(0.367963335166761)-π/2
    2×0.352587313354758-π/2
    0.705174626709516-1.57079632675     		φ = -0.86562170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44677190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.598144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86562170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.596470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28108 KachelY 43196 -0.44677190 -0.86562170 -25.598144 -49.596470
    Oben rechts KachelX + 1 28109 KachelY 43196 -0.44667603 -0.86562170 -25.592651 -49.596470
    Unten links KachelX 28108 KachelY + 1 43197 -0.44677190 -0.86568384 -25.598144 -49.600030
    Unten rechts KachelX + 1 28109 KachelY + 1 43197 -0.44667603 -0.86568384 -25.592651 -49.600030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86562170--0.86568384) × R
    6.21399999999328e-05 × 6371000     		dl = 395.893939999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86562170--0.86568384) × R
    6.21399999999328e-05 × 6371000     		dr = 395.893939999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44677190--0.44667603) × cos(-0.86562170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648166817438432 × 6371000     		do = 395.892365011208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44677190--0.44667603) × cos(-0.86568384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648119496677964 × 6371000     		du = 395.863462069447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86562170)-sin(-0.86568384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648166817438432-0.648119496677964)×R²
    abs(-0.44667603--0.44677190)×4.73207604680947e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73207604680947e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73207604680947e-05×40589641000000     		ar = 156725.667000913m²