Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28106 / 8114
↖ ↑ ↗
← N 79.251537°
W 25.609131°		 ← 113.91 m → N 79.251537°
W 25.603638°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
N 79.250513°
W 25.609131°		 ← 113.92 m →
12 977 m²		 N 79.250513°
W 25.603638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428871154785156 y=0.123817443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428871154785156 × 216)
    floor (0.428871154785156 × 65536)
    floor (28106.5)     		tx = 28106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123817443847656 × 216)
    floor (0.123817443847656 × 65536)
    floor (8114.5)     		ty = 8114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28106 / 8114 ti = "16/28106/8114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28106/8114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28106 ÷ 216
    28106 ÷ 65536     		x = 0.428863525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8114 ÷ 216
    8114 ÷ 65536     		y = 0.123809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428863525390625 × 2 - 1) × π
    -0.14227294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44696365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123809814453125 × 2 - 1) × π
    0.75238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36367264646573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44696365} λ = -0.44696365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36367264646573))-π/2
    2×atan(10.6299197875118)-π/2
    2×1.4769982918239-π/2
    2.9539965836478-1.57079632675     		φ = 1.38320026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44696365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.609131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38320026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.251537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28106 KachelY 8114 -0.44696365 1.38320026 -25.609131 79.251537
    Oben rechts KachelX + 1 28107 KachelY 8114 -0.44686778 1.38320026 -25.603638 79.251537
    Unten links KachelX 28106 KachelY + 1 8115 -0.44696365 1.38318238 -25.609131 79.250513
    Unten rechts KachelX + 1 28107 KachelY + 1 8115 -0.44686778 1.38318238 -25.603638 79.250513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38320026-1.38318238) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dl = 113.913479999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38320026-1.38318238) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dr = 113.913479999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44696365--0.44686778) × cos(1.38320026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186497678964244 × 6371000     		do = 113.910501444744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44696365--0.44686778) × cos(1.38318238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186515245237009 × 6371000     		du = 113.921230709313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38320026)-sin(1.38318238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186497678964244-0.186515245237009)×R²
    abs(-0.44686778--0.44696365)×1.75662727648906e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75662727648906e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75662727648906e-05×40589641000000     		ar = 12976.5527320932m²