Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28106 / 43470
↖ ↑ ↗
← S 50.562304°
W 25.609131°		 ← 388 m → S 50.562304°
W 25.603638°		 →
↑
387.99 m
↓
↑
387.99 m
↓
S 50.565794°
W 25.609131°		 ← 387.97 m →
150 535 m²		 S 50.565794°
W 25.603638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428871154785156 y=0.663307189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428871154785156 × 216)
    floor (0.428871154785156 × 65536)
    floor (28106.5)     		tx = 28106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663307189941406 × 216)
    floor (0.663307189941406 × 65536)
    floor (43470.5)     		ty = 43470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28106 / 43470 ti = "16/28106/43470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28106/43470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28106 ÷ 216
    28106 ÷ 65536     		x = 0.428863525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43470 ÷ 216
    43470 ÷ 65536     		y = 0.663299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428863525390625 × 2 - 1) × π
    -0.14227294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44696365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663299560546875 × 2 - 1) × π
    -0.32659912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02604139946768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44696365} λ = -0.44696365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02604139946768))-π/2
    2×atan(0.35842300945004)-π/2
    2×0.344158818462858-π/2
    0.688317636925716-1.57079632675     		φ = -0.88247869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44696365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.609131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88247869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.562304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28106 KachelY 43470 -0.44696365 -0.88247869 -25.609131 -50.562304
    Oben rechts KachelX + 1 28107 KachelY 43470 -0.44686778 -0.88247869 -25.603638 -50.562304
    Unten links KachelX 28106 KachelY + 1 43471 -0.44696365 -0.88253959 -25.609131 -50.565794
    Unten rechts KachelX + 1 28107 KachelY + 1 43471 -0.44686778 -0.88253959 -25.603638 -50.565794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88247869--0.88253959) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dl = 387.993900000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88247869--0.88253959) × R
    6.09000000000304e-05 × 6371000     		dr = 387.993900000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44696365--0.44686778) × cos(-0.88247869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635238766106317 × 6371000     		do = 387.996069367621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44696365--0.44686778) × cos(-0.88253959) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635191730895541 × 6371000     		du = 387.967340836119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88247869)-sin(-0.88253959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635238766106317-0.635191730895541)×R²
    abs(-0.44686778--0.44696365)×4.70352107764249e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70352107764249e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70352107764249e-05×40589641000000     		ar = 150534.53493758m²