Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28106 / 21602
↖ ↑ ↗
← N 52.153714°
W 25.609131°		 ← 374.75 m → N 52.153714°
W 25.603638°		 →
↑
374.74 m
↓
↑
374.74 m
↓
N 52.150344°
W 25.609131°		 ← 374.77 m →
140 438 m²		 N 52.150344°
W 25.603638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428871154785156 y=0.329627990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428871154785156 × 216)
    floor (0.428871154785156 × 65536)
    floor (28106.5)     		tx = 28106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329627990722656 × 216)
    floor (0.329627990722656 × 65536)
    floor (21602.5)     		ty = 21602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28106 / 21602 ti = "16/28106/21602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28106/21602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28106 ÷ 216
    28106 ÷ 65536     		x = 0.428863525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21602 ÷ 216
    21602 ÷ 65536     		y = 0.329620361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428863525390625 × 2 - 1) × π
    -0.14227294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44696365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329620361328125 × 2 - 1) × π
    0.34075927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07052684231509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44696365} λ = -0.44696365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07052684231509))-π/2
    2×atan(2.91691584993369)-π/2
    2×1.24052518061979-π/2
    2.48105036123958-1.57079632675     		φ = 0.91025403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44696365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.609131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91025403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.153714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28106 KachelY 21602 -0.44696365 0.91025403 -25.609131 52.153714
    Oben rechts KachelX + 1 28107 KachelY 21602 -0.44686778 0.91025403 -25.603638 52.153714
    Unten links KachelX 28106 KachelY + 1 21603 -0.44696365 0.91019521 -25.609131 52.150344
    Unten rechts KachelX + 1 28107 KachelY + 1 21603 -0.44686778 0.91019521 -25.603638 52.150344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91025403-0.91019521) × R
    5.8820000000015e-05 × 6371000     		dl = 374.742220000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91025403-0.91019521) × R
    5.8820000000015e-05 × 6371000     		dr = 374.742220000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44696365--0.44686778) × cos(0.91025403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613545172053088 × 6371000     		do = 374.745887432564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44696365--0.44686778) × cos(0.91019521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613591618770778 × 6371000     		du = 374.774256519685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91025403)-sin(0.91019521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613545172053088-0.613591618770778)×R²
    abs(-0.44686778--0.44696365)×4.64467176902739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64467176902739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64467176902739e-05×40589641000000     		ar = 140438.421380116m²