Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28105 / 22078
↖ ↑ ↗
← N 50.520412°
W 25.614624°		 ← 388.38 m → N 50.520412°
W 25.609131°		 →
↑
388.38 m
↓
↑
388.38 m
↓
N 50.516919°
W 25.614624°		 ← 388.41 m →
150 844 m²		 N 50.516919°
W 25.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428855895996094 y=0.336891174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428855895996094 × 216)
    floor (0.428855895996094 × 65536)
    floor (28105.5)     		tx = 28105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336891174316406 × 216)
    floor (0.336891174316406 × 65536)
    floor (22078.5)     		ty = 22078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28105 / 22078 ti = "16/28105/22078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28105/22078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28105 ÷ 216
    28105 ÷ 65536     		x = 0.428848266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22078 ÷ 216
    22078 ÷ 65536     		y = 0.336883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428848266601562 × 2 - 1) × π
    -0.142303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44705953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336883544921875 × 2 - 1) × π
    0.32623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0248909138768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44705953} λ = -0.44705953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0248909138768))-π/2
    2×atan(2.78679144370938)-π/2
    2×1.22627192944959-π/2
    2.45254385889919-1.57079632675     		φ = 0.88174753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44705953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.614624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88174753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.520412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28105 KachelY 22078 -0.44705953 0.88174753 -25.614624 50.520412
    Oben rechts KachelX + 1 28106 KachelY 22078 -0.44696365 0.88174753 -25.609131 50.520412
    Unten links KachelX 28105 KachelY + 1 22079 -0.44705953 0.88168657 -25.614624 50.516919
    Unten rechts KachelX + 1 28106 KachelY + 1 22079 -0.44696365 0.88168657 -25.609131 50.516919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88174753-0.88168657) × R
    6.09599999999988e-05 × 6371000     		dl = 388.376159999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88174753-0.88168657) × R
    6.09599999999988e-05 × 6371000     		dr = 388.376159999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44705953--0.44696365) × cos(0.88174753) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635803282685774 × 6371000     		do = 388.381376217433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44705953--0.44696365) × cos(0.88168657) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.635850333550012 × 6371000     		du = 388.410117307489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88174753)-sin(0.88168657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635803282685774-0.635850333550012)×R²
    abs(-0.44696365--0.44705953)×4.7050864238618e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7050864238618e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7050864238618e-05×40589641000000     		ar = 150843.648734789m²