Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28105 / 21702
↖ ↑ ↗
← N 51.815407°
W 25.614624°		 ← 377.63 m → N 51.815407°
W 25.609131°		 →
↑
377.67 m
↓
↑
377.67 m
↓
N 51.812011°
W 25.614624°		 ← 377.66 m →
142 625 m²		 N 51.812011°
W 25.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428855895996094 y=0.331153869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428855895996094 × 216)
    floor (0.428855895996094 × 65536)
    floor (28105.5)     		tx = 28105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331153869628906 × 216)
    floor (0.331153869628906 × 65536)
    floor (21702.5)     		ty = 21702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28105 / 21702 ti = "16/28105/21702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28105/21702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28105 ÷ 216
    28105 ÷ 65536     		x = 0.428848266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21702 ÷ 216
    21702 ÷ 65536     		y = 0.331146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428848266601562 × 2 - 1) × π
    -0.142303466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44705953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331146240234375 × 2 - 1) × π
    0.33770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06093946239108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44705953} λ = -0.44705953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06093946239108))-π/2
    2×atan(2.88908390039854)-π/2
    2×1.23757289091459-π/2
    2.47514578182918-1.57079632675     		φ = 0.90434946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44705953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.614624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90434946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.815407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28105 KachelY 21702 -0.44705953 0.90434946 -25.614624 51.815407
    Oben rechts KachelX + 1 28106 KachelY 21702 -0.44696365 0.90434946 -25.609131 51.815407
    Unten links KachelX 28105 KachelY + 1 21703 -0.44705953 0.90429018 -25.614624 51.812011
    Unten rechts KachelX + 1 28106 KachelY + 1 21703 -0.44696365 0.90429018 -25.609131 51.812011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90434946-0.90429018) × R
    5.92799999999949e-05 × 6371000     		dl = 377.672879999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90434946-0.90429018) × R
    5.92799999999949e-05 × 6371000     		dr = 377.672879999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44705953--0.44696365) × cos(0.90434946) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.618197050214648 × 6371000     		do = 377.626583055223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44705953--0.44696365) × cos(0.90429018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.6182436445813 × 6371000     		du = 377.655045293052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90434946)-sin(0.90429018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618197050214648-0.6182436445813)×R²
    abs(-0.44696365--0.44705953)×4.65943666527746e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65943666527746e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65943666527746e-05×40589641000000     		ar = 142624.693936501m²