Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28104 / 8648
↖ ↑ ↗
← N 78.690491°
W 25.620117°		 ← 119.78 m → N 78.690491°
W 25.614624°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
N 78.689414°
W 25.620117°		 ← 119.79 m →
14 347 m²		 N 78.689414°
W 25.614624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428840637207031 y=0.131965637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428840637207031 × 216)
    floor (0.428840637207031 × 65536)
    floor (28104.5)     		tx = 28104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131965637207031 × 216)
    floor (0.131965637207031 × 65536)
    floor (8648.5)     		ty = 8648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28104 / 8648 ti = "16/28104/8648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28104/8648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28104 ÷ 216
    28104 ÷ 65536     		x = 0.4288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8648 ÷ 216
    8648 ÷ 65536     		y = 0.1319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1319580078125 × 2 - 1) × π
    0.736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31247603767151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44715540} λ = -0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31247603767151))-π/2
    2×atan(10.099400217435)-π/2
    2×1.47210224323766-π/2
    2.94420448647531-1.57079632675     		φ = 1.37340816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37340816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.690491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28104 KachelY 8648 -0.44715540 1.37340816 -25.620117 78.690491
    Oben rechts KachelX + 1 28105 KachelY 8648 -0.44705953 1.37340816 -25.614624 78.690491
    Unten links KachelX 28104 KachelY + 1 8649 -0.44715540 1.37338936 -25.620117 78.689414
    Unten rechts KachelX + 1 28105 KachelY + 1 8649 -0.44705953 1.37338936 -25.614624 78.689414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37340816-1.37338936) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dl = 119.774800000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37340816-1.37338936) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dr = 119.774800000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44715540--0.44705953) × cos(1.37340816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196108885645973 × 6371000     		do = 119.780908940886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44715540--0.44705953) × cos(1.37338936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196127320555276 × 6371000     		du = 119.792168758029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37340816)-sin(1.37338936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196108885645973-0.196127320555276)×R²
    abs(-0.44705953--0.44715540)×1.84349093031999e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84349093031999e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84349093031999e-05×40589641000000     		ar = 14347.4087341308m²