Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28104 / 43197
↖ ↑ ↗
← S 49.600030°
W 25.620117°		 ← 395.86 m → S 49.600030°
W 25.614624°		 →
↑
395.89 m
↓
↑
395.89 m
↓
S 49.603591°
W 25.620117°		 ← 395.83 m →
156 714 m²		 S 49.603591°
W 25.614624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428840637207031 y=0.659141540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428840637207031 × 216)
    floor (0.428840637207031 × 65536)
    floor (28104.5)     		tx = 28104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659141540527344 × 216)
    floor (0.659141540527344 × 65536)
    floor (43197.5)     		ty = 43197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28104 / 43197 ti = "16/28104/43197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28104/43197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28104 ÷ 216
    28104 ÷ 65536     		x = 0.4288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43197 ÷ 216
    43197 ÷ 65536     		y = 0.659133911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659133911132812 × 2 - 1) × π
    -0.318267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.999867852275131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44715540} λ = -0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999867852275131))-π/2
    2×atan(0.367928058814904)-π/2
    2×0.352556243381305-π/2
    0.705112486762609-1.57079632675     		φ = -0.86568384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86568384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.600030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28104 KachelY 43197 -0.44715540 -0.86568384 -25.620117 -49.600030
    Oben rechts KachelX + 1 28105 KachelY 43197 -0.44705953 -0.86568384 -25.614624 -49.600030
    Unten links KachelX 28104 KachelY + 1 43198 -0.44715540 -0.86574598 -25.620117 -49.603591
    Unten rechts KachelX + 1 28105 KachelY + 1 43198 -0.44705953 -0.86574598 -25.614624 -49.603591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86568384--0.86574598) × R
    6.21400000000438e-05 × 6371000     		dl = 395.893940000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86568384--0.86574598) × R
    6.21400000000438e-05 × 6371000     		dr = 395.893940000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44715540--0.44705953) × cos(-0.86568384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648119496677964 × 6371000     		do = 395.863462069447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44715540--0.44705953) × cos(-0.86574598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64807217341486 × 6371000     		du = 395.834557599107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86568384)-sin(-0.86574598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648119496677964-0.64807217341486)×R²
    abs(-0.44705953--0.44715540)×4.7323263103638e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7323263103638e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7323263103638e-05×40589641000000     		ar = 156714.224199003m²