Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28104 / 22077
↖ ↑ ↗
← N 50.523905°
W 25.620117°		 ← 388.31 m → N 50.523905°
W 25.614624°		 →
↑
388.38 m
↓
↑
388.38 m
↓
N 50.520412°
W 25.620117°		 ← 388.34 m →
150 817 m²		 N 50.520412°
W 25.614624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428840637207031 y=0.336875915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428840637207031 × 216)
    floor (0.428840637207031 × 65536)
    floor (28104.5)     		tx = 28104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336875915527344 × 216)
    floor (0.336875915527344 × 65536)
    floor (22077.5)     		ty = 22077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28104 / 22077 ti = "16/28104/22077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28104/22077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28104 ÷ 216
    28104 ÷ 65536     		x = 0.4288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22077 ÷ 216
    22077 ÷ 65536     		y = 0.336868286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336868286132812 × 2 - 1) × π
    0.326263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02498678767604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44715540} λ = -0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02498678767604))-π/2
    2×atan(2.78705863680098)-π/2
    2×1.22630240675996-π/2
    2.45260481351992-1.57079632675     		φ = 0.88180849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88180849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.523905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28104 KachelY 22077 -0.44715540 0.88180849 -25.620117 50.523905
    Oben rechts KachelX + 1 28105 KachelY 22077 -0.44705953 0.88180849 -25.614624 50.523905
    Unten links KachelX 28104 KachelY + 1 22078 -0.44715540 0.88174753 -25.620117 50.520412
    Unten rechts KachelX + 1 28105 KachelY + 1 22078 -0.44705953 0.88174753 -25.614624 50.520412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88180849-0.88174753) × R
    6.09599999999988e-05 × 6371000     		dl = 388.376159999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88180849-0.88174753) × R
    6.09599999999988e-05 × 6371000     		dr = 388.376159999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44715540--0.44705953) × cos(0.88180849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635756229458813 × 6371000     		do = 388.312129654748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44715540--0.44705953) × cos(0.88174753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635803282685774 × 6371000     		du = 388.340869190315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88180849)-sin(0.88174753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635756229458813-0.635803282685774)×R²
    abs(-0.44705953--0.44715540)×4.70532269609691e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70532269609691e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70532269609691e-05×40589641000000     		ar = 150816.754718754m²