Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28104 / 21703
↖ ↑ ↗
← N 51.812011°
W 25.620117°		 ← 377.62 m → N 51.812011°
W 25.614624°		 →
↑
377.61 m
↓
↑
377.61 m
↓
N 51.808615°
W 25.620117°		 ← 377.64 m →
142 597 m²		 N 51.808615°
W 25.614624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428840637207031 y=0.331169128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428840637207031 × 216)
    floor (0.428840637207031 × 65536)
    floor (28104.5)     		tx = 28104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331169128417969 × 216)
    floor (0.331169128417969 × 65536)
    floor (21703.5)     		ty = 21703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28104 / 21703 ti = "16/28104/21703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28104/21703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28104 ÷ 216
    28104 ÷ 65536     		x = 0.4288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21703 ÷ 216
    21703 ÷ 65536     		y = 0.331161499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331161499023438 × 2 - 1) × π
    0.337677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06084358859184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44715540} λ = -0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06084358859184))-π/2
    2×atan(2.88880692622618)-π/2
    2×1.23754325534784-π/2
    2.47508651069568-1.57079632675     		φ = 0.90429018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90429018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.812011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28104 KachelY 21703 -0.44715540 0.90429018 -25.620117 51.812011
    Oben rechts KachelX + 1 28105 KachelY 21703 -0.44705953 0.90429018 -25.614624 51.812011
    Unten links KachelX 28104 KachelY + 1 21704 -0.44715540 0.90423091 -25.620117 51.808615
    Unten rechts KachelX + 1 28105 KachelY + 1 21704 -0.44705953 0.90423091 -25.614624 51.808615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90429018-0.90423091) × R
    5.92700000000557e-05 × 6371000     		dl = 377.609170000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90429018-0.90423091) × R
    5.92700000000557e-05 × 6371000     		dr = 377.609170000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44715540--0.44705953) × cos(0.90429018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6182436445813 × 6371000     		do = 377.615656990477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44715540--0.44705953) × cos(0.90423091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618290228915873 × 6371000     		du = 377.644110132307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90429018)-sin(0.90423091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6182436445813-0.618290228915873)×R²
    abs(-0.44705953--0.44715540)×4.65843345729411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65843345729411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65843345729411e-05×40589641000000     		ar = 142596.50694086m²