Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28103 / 43225
↖ ↑ ↗
← S 49.699615°
W 25.625610°		 ← 395.05 m → S 49.699615°
W 25.620117°		 →
↑
395.07 m
↓
↑
395.07 m
↓
S 49.703168°
W 25.625610°		 ← 395.03 m →
156 067 m²		 S 49.703168°
W 25.620117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428825378417969 y=0.659568786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428825378417969 × 216)
    floor (0.428825378417969 × 65536)
    floor (28103.5)     		tx = 28103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659568786621094 × 216)
    floor (0.659568786621094 × 65536)
    floor (43225.5)     		ty = 43225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28103 / 43225 ti = "16/28103/43225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28103/43225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28103 ÷ 216
    28103 ÷ 65536     		x = 0.428817749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43225 ÷ 216
    43225 ÷ 65536     		y = 0.659561157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428817749023438 × 2 - 1) × π
    -0.142364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44725127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659561157226562 × 2 - 1) × π
    -0.319122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00255231865385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44725127} λ = -0.44725127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00255231865385))-π/2
    2×atan(0.366941692836721)-π/2
    2×0.35168720492159-π/2
    0.703374409843179-1.57079632675     		φ = -0.86742192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44725127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.625610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86742192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.699615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28103 KachelY 43225 -0.44725127 -0.86742192 -25.625610 -49.699615
    Oben rechts KachelX + 1 28104 KachelY 43225 -0.44715540 -0.86742192 -25.620117 -49.699615
    Unten links KachelX 28103 KachelY + 1 43226 -0.44725127 -0.86748393 -25.625610 -49.703168
    Unten rechts KachelX + 1 28104 KachelY + 1 43226 -0.44715540 -0.86748393 -25.620117 -49.703168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86742192--0.86748393) × R
    6.20100000000567e-05 × 6371000     		dl = 395.065710000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86742192--0.86748393) × R
    6.20100000000567e-05 × 6371000     		dr = 395.065710000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44725127--0.44715540) × cos(-0.86742192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646794903285644 × 6371000     		do = 395.054416625195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44725127--0.44715540) × cos(-0.86748393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646747609248461 × 6371000     		du = 395.02553000569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86742192)-sin(-0.86748393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646794903285644-0.646747609248461)×R²
    abs(-0.44715540--0.44725127)×4.72940371825104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72940371825104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72940371825104e-05×40589641000000     		ar = 156066.747586432m²