Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28102 / 8650
↖ ↑ ↗
← N 78.688336°
W 25.631104°		 ← 119.82 m → N 78.688336°
W 25.625610°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
N 78.687259°
W 25.631104°		 ← 119.83 m →
14 352 m²		 N 78.687259°
W 25.625610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428810119628906 y=0.131996154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428810119628906 × 216)
    floor (0.428810119628906 × 65536)
    floor (28102.5)     		tx = 28102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131996154785156 × 216)
    floor (0.131996154785156 × 65536)
    floor (8650.5)     		ty = 8650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28102 / 8650 ti = "16/28102/8650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28102/8650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28102 ÷ 216
    28102 ÷ 65536     		x = 0.428802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8650 ÷ 216
    8650 ÷ 65536     		y = 0.131988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44734715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131988525390625 × 2 - 1) × π
    0.73602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31228429007303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44734715} λ = -0.44734715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31228429007303))-π/2
    2×atan(10.0974638673483)-π/2
    2×1.472083439766-π/2
    2.944166879532-1.57079632675     		φ = 1.37337055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44734715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.631104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37337055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.688336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28102 KachelY 8650 -0.44734715 1.37337055 -25.631104 78.688336
    Oben rechts KachelX + 1 28103 KachelY 8650 -0.44725127 1.37337055 -25.625610 78.688336
    Unten links KachelX 28102 KachelY + 1 8651 -0.44734715 1.37335175 -25.631104 78.687259
    Unten rechts KachelX + 1 28103 KachelY + 1 8651 -0.44725127 1.37335175 -25.625610 78.687259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37337055-1.37335175) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dl = 119.7747999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37337055-1.37335175) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dr = 119.7747999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44734715--0.44725127) × cos(1.37337055) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196145765201007 × 6371000     		do = 119.815930968828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44734715--0.44725127) × cos(1.37335175) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.196164199971628 × 6371000     		du = 119.827191875745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37337055)-sin(1.37335175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196145765201007-0.196164199971628)×R²
    abs(-0.44725127--0.44734715)×1.84347706211063e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.84347706211063e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.84347706211063e-05×40589641000000     		ar = 14351.6035555839m²