Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28102 / 14785
↖ ↑ ↗
← N 69.777053°
W 25.631104°		 ← 211.16 m → N 69.777053°
W 25.625610°		 →
↑
211.20 m
↓
↑
211.20 m
↓
N 69.775154°
W 25.631104°		 ← 211.17 m →
44 598 m²		 N 69.775154°
W 25.625610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428810119628906 y=0.225608825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428810119628906 × 216)
    floor (0.428810119628906 × 65536)
    floor (28102.5)     		tx = 28102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225608825683594 × 216)
    floor (0.225608825683594 × 65536)
    floor (14785.5)     		ty = 14785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28102 / 14785 ti = "16/28102/14785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28102/14785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28102 ÷ 216
    28102 ÷ 65536     		x = 0.428802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14785 ÷ 216
    14785 ÷ 65536     		y = 0.225601196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44734715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225601196289062 × 2 - 1) × π
    0.548797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72409853173494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44734715} λ = -0.44734715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72409853173494))-π/2
    2×atan(5.60746379990646)-π/2
    2×1.39431782213747-π/2
    2.78863564427494-1.57079632675     		φ = 1.21783932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44734715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.631104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21783932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.777053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28102 KachelY 14785 -0.44734715 1.21783932 -25.631104 69.777053
    Oben rechts KachelX + 1 28103 KachelY 14785 -0.44725127 1.21783932 -25.625610 69.777053
    Unten links KachelX 28102 KachelY + 1 14786 -0.44734715 1.21780617 -25.631104 69.775154
    Unten rechts KachelX + 1 28103 KachelY + 1 14786 -0.44725127 1.21780617 -25.625610 69.775154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21783932-1.21780617) × R
    3.31499999999263e-05 × 6371000     		dl = 211.19864999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21783932-1.21780617) × R
    3.31499999999263e-05 × 6371000     		dr = 211.19864999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44734715--0.44725127) × cos(1.21783932) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.345674035773131 × 6371000     		do = 211.155496349696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44734715--0.44725127) × cos(1.21780617) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.345705142040047 × 6371000     		du = 211.174497658879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21783932)-sin(1.21780617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345674035773131-0.345705142040047)×R²
    abs(-0.44725127--0.44734715)×3.11062669159368e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.11062669159368e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.11062669159368e-05×40589641000000     		ar = 44597.7622984553m²