Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28101 / 8651
↖ ↑ ↗
← N 78.687259°
W 25.636597°		 ← 119.81 m → N 78.687259°
W 25.631104°		 →
↑
119.84 m
↓
↑
119.84 m
↓
N 78.686181°
W 25.636597°		 ← 119.83 m →
14 359 m²		 N 78.686181°
W 25.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428794860839844 y=0.132011413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428794860839844 × 216)
    floor (0.428794860839844 × 65536)
    floor (28101.5)     		tx = 28101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132011413574219 × 216)
    floor (0.132011413574219 × 65536)
    floor (8651.5)     		ty = 8651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28101 / 8651 ti = "16/28101/8651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28101/8651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28101 ÷ 216
    28101 ÷ 65536     		x = 0.428787231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8651 ÷ 216
    8651 ÷ 65536     		y = 0.132003784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428787231445312 × 2 - 1) × π
    -0.142425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44744302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132003784179688 × 2 - 1) × π
    0.735992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31218841627379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44744302} λ = -0.44744302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31218841627379))-π/2
    2×atan(10.0964958315301)-π/2
    2×1.47207403670428-π/2
    2.94414807340856-1.57079632675     		φ = 1.37335175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44744302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.636597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37335175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.687259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28101 KachelY 8651 -0.44744302 1.37335175 -25.636597 78.687259
    Oben rechts KachelX + 1 28102 KachelY 8651 -0.44734715 1.37335175 -25.631104 78.687259
    Unten links KachelX 28101 KachelY + 1 8652 -0.44744302 1.37333294 -25.636597 78.686181
    Unten rechts KachelX + 1 28102 KachelY + 1 8652 -0.44734715 1.37333294 -25.631104 78.686181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37335175-1.37333294) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dl = 119.838510000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37335175-1.37333294) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dr = 119.838510000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44744302--0.44734715) × cos(1.37335175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196164199971628 × 6371000     		do = 119.814694254502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44744302--0.44734715) × cos(1.37333294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.196182644478591 × 6371000     		du = 119.825959933779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37335175)-sin(1.37333294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196164199971628-0.196182644478591)×R²
    abs(-0.44734715--0.44744302)×1.84445069627004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84445069627004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84445069627004e-05×40589641000000     		ar = 14359.0894669399m²