Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28101 / 8117
↖ ↑ ↗
← N 79.248463°
W 25.636597°		 ← 113.94 m → N 79.248463°
W 25.631104°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
N 79.247438°
W 25.636597°		 ← 113.95 m →
12 987 m²		 N 79.247438°
W 25.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428794860839844 y=0.123863220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428794860839844 × 216)
    floor (0.428794860839844 × 65536)
    floor (28101.5)     		tx = 28101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123863220214844 × 216)
    floor (0.123863220214844 × 65536)
    floor (8117.5)     		ty = 8117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28101 / 8117 ti = "16/28101/8117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28101/8117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28101 ÷ 216
    28101 ÷ 65536     		x = 0.428787231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8117 ÷ 216
    8117 ÷ 65536     		y = 0.123855590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428787231445312 × 2 - 1) × π
    -0.142425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44744302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123855590820312 × 2 - 1) × π
    0.752288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36338502506801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44744302} λ = -0.44744302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36338502506801))-π/2
    2×atan(10.6268628347685)-π/2
    2×1.47697146767218-π/2
    2.95394293534435-1.57079632675     		φ = 1.38314661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44744302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.636597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38314661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.248463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28101 KachelY 8117 -0.44744302 1.38314661 -25.636597 79.248463
    Oben rechts KachelX + 1 28102 KachelY 8117 -0.44734715 1.38314661 -25.631104 79.248463
    Unten links KachelX 28101 KachelY + 1 8118 -0.44744302 1.38312872 -25.636597 79.247438
    Unten rechts KachelX + 1 28102 KachelY + 1 8118 -0.44734715 1.38312872 -25.631104 79.247438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38314661-1.38312872) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38314661-1.38312872) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44744302--0.44734715) × cos(1.38314661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186550387428103 × 6371000     		do = 113.942695129845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44744302--0.44734715) × cos(1.38312872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186567963346355 × 6371000     		du = 113.953430285759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38314661)-sin(1.38312872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186550387428103-0.186567963346355)×R²
    abs(-0.44734715--0.44744302)×1.75759182517998e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75759182517998e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75759182517998e-05×40589641000000     		ar = 12987.4799937996m²