Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28100 / 21706
↖ ↑ ↗
← N 51.801821°
W 25.642090°		 ← 377.70 m → N 51.801821°
W 25.636597°		 →
↑
377.74 m
↓
↑
377.74 m
↓
N 51.798424°
W 25.642090°		 ← 377.73 m →
142 677 m²		 N 51.798424°
W 25.636597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428779602050781 y=0.331214904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428779602050781 × 216)
    floor (0.428779602050781 × 65536)
    floor (28100.5)     		tx = 28100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331214904785156 × 216)
    floor (0.331214904785156 × 65536)
    floor (21706.5)     		ty = 21706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28100 / 21706 ti = "16/28100/21706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28100/21706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28100 ÷ 216
    28100 ÷ 65536     		x = 0.42877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21706 ÷ 216
    21706 ÷ 65536     		y = 0.331207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.1424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44753889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331207275390625 × 2 - 1) × π
    0.33758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06055596719412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44753889} λ = -0.44753889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06055596719412))-π/2
    2×atan(2.88797616301868)-π/2
    2×1.2374543352476-π/2
    2.47490867049521-1.57079632675     		φ = 0.90411234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44753889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.642090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90411234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.801821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28100 KachelY 21706 -0.44753889 0.90411234 -25.642090 51.801821
    Oben rechts KachelX + 1 28101 KachelY 21706 -0.44744302 0.90411234 -25.636597 51.801821
    Unten links KachelX 28100 KachelY + 1 21707 -0.44753889 0.90405305 -25.642090 51.798424
    Unten rechts KachelX + 1 28101 KachelY + 1 21707 -0.44744302 0.90405305 -25.636597 51.798424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90411234-0.90405305) × R
    5.92899999999341e-05 × 6371000     		dl = 377.73658999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90411234-0.90405305) × R
    5.92899999999341e-05 × 6371000     		dr = 377.73658999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44753889--0.44744302) × cos(0.90411234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618383414645116 × 6371000     		do = 377.701026836067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44753889--0.44744302) × cos(0.90405305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61843000817886 × 6371000     		du = 377.729485596639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90411234)-sin(0.90405305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618383414645116-0.61843000817886)×R²
    abs(-0.44744302--0.44753889)×4.65935337438106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65935337438106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65935337438106e-05×40589641000000     		ar = 142676.872915788m²