Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2810 / 4879
↖ ↑ ↗
← S 32.509762°
W 56.513672°		 ← 4 120.78 m → S 32.509762°
W 56.469727°		 →
↑
4 119.93 m
↓
↑
4 119.93 m
↓
S 32.546813°
W 56.513672°		 ← 4 119.08 m →
16 973 841 m²		 S 32.546813°
W 56.469727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34307861328125 y=0.59564208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34307861328125 × 213)
    floor (0.34307861328125 × 8192)
    floor (2810.5)     		tx = 2810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59564208984375 × 213)
    floor (0.59564208984375 × 8192)
    floor (4879.5)     		ty = 4879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2810 / 4879 ti = "13/2810/4879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2810/4879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2810 ÷ 213
    2810 ÷ 8192     		x = 0.343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4879 ÷ 213
    4879 ÷ 8192     		y = 0.5955810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343017578125 × 2 - 1) × π
    -0.31396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98634965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.600553478440063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98634965} λ = -0.98634965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.600553478440063))-π/2
    2×atan(0.548507964731321)-π/2
    2×0.501696972739355-π/2
    1.00339394547871-1.57079632675     		φ = -0.56740238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98634965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56740238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.509762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2810 KachelY 4879 -0.98634965 -0.56740238 -56.513672 -32.509762
    Oben rechts KachelX + 1 2811 KachelY 4879 -0.98558266 -0.56740238 -56.469727 -32.509762
    Unten links KachelX 2810 KachelY + 1 4880 -0.98634965 -0.56804905 -56.513672 -32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 2811 KachelY + 1 4880 -0.98558266 -0.56804905 -56.469727 -32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56740238--0.56804905) × R
    0.000646670000000071 × 6371000     		dl = 4119.93457000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56740238--0.56804905) × R
    0.000646670000000071 × 6371000     		dr = 4119.93457000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98634965--0.98558266) × cos(-0.56740238) × R
    0.000766989999999912 × 0.843299892171876 × 6371000     		do = 4120.77926455512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98634965--0.98558266) × cos(-0.56804905) × R
    0.000766989999999912 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 4119.08010986957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56740238)-sin(-0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843299892171876-0.842952167416165)×R²
    abs(-0.98558266--0.98634965)×0.000347724755711543×R²
    0.000766989999999912×0.000347724755711543×6371000²
    0.000766989999999912×0.000347724755711543×40589641000000     		ar = 16973841.3358299m²