Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 281 / 818
↖ ↑ ↗
← S 72.607120°
W 81.210938°		 ← 11.685 km → S 72.607120°
W 80.859375°		 →
↑
11.651 km
↓
↑
11.651 km
↓
S 72.711903°
W 81.210938°		 ← 11.617 km →
135.753 km²		 S 72.711903°
W 80.859375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27490234375 y=0.79931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27490234375 × 210)
    floor (0.27490234375 × 1024)
    floor (281.5)     		tx = 281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79931640625 × 210)
    floor (0.79931640625 × 1024)
    floor (818.5)     		ty = 818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 281 / 818 ti = "10/281/818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/281/818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 281 ÷ 210
    281 ÷ 1024     		x = 0.2744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 818 ÷ 210
    818 ÷ 1024     		y = 0.798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41739825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798828125 × 2 - 1) × π
    -0.59765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87759248431836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41739825} λ = -1.41739825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87759248431836))-π/2
    2×atan(0.15295791140063)-π/2
    2×0.151781507717093-π/2
    0.303563015434187-1.57079632675     		φ = -1.26723331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41739825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.210938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26723331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.607120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 281 KachelY 818 -1.41739825 -1.26723331 -81.210938 -72.607120
    Oben rechts KachelX + 1 282 KachelY 818 -1.41126232 -1.26723331 -80.859375 -72.607120
    Unten links KachelX 281 KachelY + 1 819 -1.41739825 -1.26906211 -81.210938 -72.711903
    Unten rechts KachelX + 1 282 KachelY + 1 819 -1.41126232 -1.26906211 -80.859375 -72.711903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26723331--1.26906211) × R
    0.00182879999999996 × 6371000     		dl = 11651.2847999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26723331--1.26906211) × R
    0.00182879999999996 × 6371000     		dr = 11651.2847999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41739825--1.41126232) × cos(-1.26723331) × R
    0.0061359299999999 × 0.298922203589153 × 6371000     		do = 11685.4697808967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41739825--1.41126232) × cos(-1.26906211) × R
    0.0061359299999999 × 0.29717652202554 × 6371000     		du = 11617.2275797027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26723331)-sin(-1.26906211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298922203589153-0.29717652202554)×R²
    abs(-1.41126232--1.41739825)×0.00174568156361249×R²
    0.0061359299999999×0.00174568156361249×6371000²
    0.0061359299999999×0.00174568156361249×40589641000000     		ar = 135753219.613942m²