Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 281 / 151
↖ ↑ ↗
← N 82.142451°
W130.605469°		 ← 2 672.14 m → N 82.142451°
W130.429688°		 →
↑
2 676.20 m
↓
↑
2 676.20 m
↓
N 82.118384°
W130.605469°		 ← 2 680.28 m →
7 162 076 m²		 N 82.118384°
W130.429688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137451171875 y=0.073974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137451171875 × 211)
    floor (0.137451171875 × 2048)
    floor (281.5)     		tx = 281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.073974609375 × 211)
    floor (0.073974609375 × 2048)
    floor (151.5)     		ty = 151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 281 / 151 ti = "11/281/151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/281/151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 281 ÷ 211
    281 ÷ 2048     		x = 0.13720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 151 ÷ 211
    151 ÷ 2048     		y = 0.07373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13720703125 × 2 - 1) × π
    -0.7255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27949545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07373046875 × 2 - 1) × π
    0.8525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.67833045557178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27949545} λ = -2.27949545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67833045557178))-π/2
    2×atan(14.5607631504144)-π/2
    2×1.50222627903205-π/2
    3.00445255806409-1.57079632675     		φ = 1.43365623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27949545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43365623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.142451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 281 KachelY 151 -2.27949545 1.43365623 -130.605469 82.142451
    Oben rechts KachelX + 1 282 KachelY 151 -2.27642749 1.43365623 -130.429688 82.142451
    Unten links KachelX 281 KachelY + 1 152 -2.27949545 1.43323617 -130.605469 82.118384
    Unten rechts KachelX + 1 282 KachelY + 1 152 -2.27642749 1.43323617 -130.429688 82.118384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43365623-1.43323617) × R
    0.000420059999999944 × 6371000     		dl = 2676.20225999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43365623-1.43323617) × R
    0.000420059999999944 × 6371000     		dr = 2676.20225999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27949545--2.27642749) × cos(1.43365623) × R
    0.00306796000000009 × 0.136710625938913 × 6371000     		do = 2672.14222528888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27949545--2.27642749) × cos(1.43323617) × R
    0.00306796000000009 × 0.137126729932919 × 6371000     		du = 2680.27538278748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43365623)-sin(1.43323617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.136710625938913-0.137126729932919)×R²
    abs(-2.27642749--2.27949545)×0.000416103994005379×R²
    0.00306796000000009×0.000416103994005379×6371000²
    0.00306796000000009×0.000416103994005379×40589641000000     		ar = 7162076.15490737m²