Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28099 / 43201
↖ ↑ ↗
← S 49.614269°
W 25.647583°		 ← 395.79 m → S 49.614269°
W 25.642090°		 →
↑
395.77 m
↓
↑
395.77 m
↓
S 49.617828°
W 25.647583°		 ← 395.76 m →
156 634 m²		 S 49.617828°
W 25.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428764343261719 y=0.659202575683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428764343261719 × 216)
    floor (0.428764343261719 × 65536)
    floor (28099.5)     		tx = 28099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659202575683594 × 216)
    floor (0.659202575683594 × 65536)
    floor (43201.5)     		ty = 43201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28099 / 43201 ti = "16/28099/43201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28099/43201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28099 ÷ 216
    28099 ÷ 65536     		x = 0.428756713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43201 ÷ 216
    43201 ÷ 65536     		y = 0.659194946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428756713867188 × 2 - 1) × π
    -0.142486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44763477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659194946289062 × 2 - 1) × π
    -0.318389892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00025134747209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44763477} λ = -0.44763477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00025134747209))-π/2
    2×atan(0.367786987223389)-π/2
    2×0.352431986170892-π/2
    0.704863972341784-1.57079632675     		φ = -0.86593235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44763477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86593235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.614269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28099 KachelY 43201 -0.44763477 -0.86593235 -25.647583 -49.614269
    Oben rechts KachelX + 1 28100 KachelY 43201 -0.44753889 -0.86593235 -25.642090 -49.614269
    Unten links KachelX 28099 KachelY + 1 43202 -0.44763477 -0.86599447 -25.647583 -49.617828
    Unten rechts KachelX + 1 28100 KachelY + 1 43202 -0.44753889 -0.86599447 -25.642090 -49.617828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86593235--0.86599447) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dl = 395.766519999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86593235--0.86599447) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dr = 395.766519999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44763477--0.44753889) × cos(-0.86593235) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64793022669655 × 6371000     		do = 395.789137914293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44763477--0.44753889) × cos(-0.86599447) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.647882908661544 × 6371000     		du = 395.760233622579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86593235)-sin(-0.86599447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64793022669655-0.647882908661544)×R²
    abs(-0.44753889--0.44763477)×4.73180350057945e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73180350057945e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73180350057945e-05×40589641000000     		ar = 156634.370140815m²