Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28099 / 21699
↖ ↑ ↗
← N 51.825593°
W 25.647583°		 ← 377.54 m → N 51.825593°
W 25.642090°		 →
↑
377.55 m
↓
↑
377.55 m
↓
N 51.822198°
W 25.647583°		 ← 377.57 m →
142 544 m²		 N 51.822198°
W 25.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428764343261719 y=0.331108093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428764343261719 × 216)
    floor (0.428764343261719 × 65536)
    floor (28099.5)     		tx = 28099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331108093261719 × 216)
    floor (0.331108093261719 × 65536)
    floor (21699.5)     		ty = 21699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28099 / 21699 ti = "16/28099/21699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28099/21699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28099 ÷ 216
    28099 ÷ 65536     		x = 0.428756713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21699 ÷ 216
    21699 ÷ 65536     		y = 0.331100463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428756713867188 × 2 - 1) × π
    -0.142486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44763477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331100463867188 × 2 - 1) × π
    0.337799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0612270837888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44763477} λ = -0.44763477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0612270837888))-π/2
    2×atan(2.88991498226084)-π/2
    2×1.23766178421576-π/2
    2.47532356843152-1.57079632675     		φ = 0.90452724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44763477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90452724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.825593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28099 KachelY 21699 -0.44763477 0.90452724 -25.647583 51.825593
    Oben rechts KachelX + 1 28100 KachelY 21699 -0.44753889 0.90452724 -25.642090 51.825593
    Unten links KachelX 28099 KachelY + 1 21700 -0.44763477 0.90446798 -25.647583 51.822198
    Unten rechts KachelX + 1 28100 KachelY + 1 21700 -0.44753889 0.90446798 -25.642090 51.822198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90452724-0.90446798) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dl = 377.545460000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90452724-0.90446798) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dr = 377.545460000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44763477--0.44753889) × cos(0.90452724) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.618057301248822 × 6371000     		do = 377.54121719262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44763477--0.44753889) × cos(0.90446798) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.61810388640811 × 6371000     		du = 377.569673806117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90452724)-sin(0.90446798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618057301248822-0.61810388640811)×R²
    abs(-0.44753889--0.44763477)×4.65851592877931e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65851592877931e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65851592877931e-05×40589641000000     		ar = 142544.344388188m²