Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28099 / 14787
↖ ↑ ↗
← N 69.773255°
W 25.647583°		 ← 211.19 m → N 69.773255°
W 25.642090°		 →
↑
211.20 m
↓
↑
211.20 m
↓
N 69.771356°
W 25.647583°		 ← 211.21 m →
44 606 m²		 N 69.771356°
W 25.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428764343261719 y=0.225639343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428764343261719 × 216)
    floor (0.428764343261719 × 65536)
    floor (28099.5)     		tx = 28099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225639343261719 × 216)
    floor (0.225639343261719 × 65536)
    floor (14787.5)     		ty = 14787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28099 / 14787 ti = "16/28099/14787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28099/14787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28099 ÷ 216
    28099 ÷ 65536     		x = 0.428756713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14787 ÷ 216
    14787 ÷ 65536     		y = 0.225631713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428756713867188 × 2 - 1) × π
    -0.142486572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44763477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225631713867188 × 2 - 1) × π
    0.548736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72390678413646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44763477} λ = -0.44763477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72390678413646))-π/2
    2×atan(5.60638868526789)-π/2
    2×1.39428467807249-π/2
    2.78856935614498-1.57079632675     		φ = 1.21777303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44763477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.647583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21777303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.773255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28099 KachelY 14787 -0.44763477 1.21777303 -25.647583 69.773255
    Oben rechts KachelX + 1 28100 KachelY 14787 -0.44753889 1.21777303 -25.642090 69.773255
    Unten links KachelX 28099 KachelY + 1 14788 -0.44763477 1.21773988 -25.647583 69.771356
    Unten rechts KachelX + 1 28100 KachelY + 1 14788 -0.44753889 1.21773988 -25.642090 69.771356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21777303-1.21773988) × R
    3.31499999999263e-05 × 6371000     		dl = 211.19864999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21777303-1.21773988) × R
    3.31499999999263e-05 × 6371000     		dr = 211.19864999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44763477--0.44753889) × cos(1.21777303) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345736238543743 × 6371000     		do = 211.193493004062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44763477--0.44753889) × cos(1.21773988) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.345767344050933 × 6371000     		du = 211.212493849165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21777303)-sin(1.21773988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345736238543743-0.345767344050933)×R²
    abs(-0.44753889--0.44763477)×3.11055071900435e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.11055071900435e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.11055071900435e-05×40589641000000     		ar = 44605.7870914648m²