Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28096 / 38335
↖ ↑ ↗
← N 59.624714°
W102.832031°		 ← 154.44 m → N 59.624714°
W102.829284°		 →
↑
154.43 m
↓
↑
154.43 m
↓
N 59.623325°
W102.832031°		 ← 154.45 m →
23 851 m²		 N 59.623325°
W102.829284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.214359283447266 y=0.292476654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.214359283447266 × 217)
    floor (0.214359283447266 × 131072)
    floor (28096.5)     		tx = 28096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292476654052734 × 217)
    floor (0.292476654052734 × 131072)
    floor (38335.5)     		ty = 38335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28096 / 38335 ti = "17/28096/38335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28096/38335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28096 ÷ 217
    28096 ÷ 131072     		x = 0.21435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38335 ÷ 217
    38335 ÷ 131072     		y = 0.292472839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21435546875 × 2 - 1) × π
    -0.5712890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.79475752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292472839355469 × 2 - 1) × π
    0.415054321289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.30393160656515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.79475752} λ = -1.79475752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30393160656515))-π/2
    2×atan(3.68375129482133)-π/2
    2×1.30572195163071-π/2
    2.61144390326142-1.57079632675     		φ = 1.04064758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.79475752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.832031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04064758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.624714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28096 KachelY 38335 -1.79475752 1.04064758 -102.832031 59.624714
    Oben rechts KachelX + 1 28097 KachelY 38335 -1.79470958 1.04064758 -102.829284 59.624714
    Unten links KachelX 28096 KachelY + 1 38336 -1.79475752 1.04062334 -102.832031 59.623325
    Unten rechts KachelX + 1 28097 KachelY + 1 38336 -1.79470958 1.04062334 -102.829284 59.623325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04064758-1.04062334) × R
    2.42399999998977e-05 × 6371000     		dl = 154.433039999348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04064758-1.04062334) × R
    2.42399999998977e-05 × 6371000     		dr = 154.433039999348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.79475752--1.79470958) × cos(1.04064758) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.50566167539811 × 6371000     		do = 154.442091398722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.79475752--1.79470958) × cos(1.04062334) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.505682587869946 × 6371000     		du = 154.448478605907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04064758)-sin(1.04062334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50566167539811-0.505682587869946)×R²
    abs(-1.79470958--1.79475752)×2.09124718357767e-05×R²
    4.79400000001906e-05×2.09124718357767e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×2.09124718357767e-05×40589641000000     		ar = 23851.4548776405m²