Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28096 / 22247
↖ ↑ ↗
← N 49.926472°
W 25.664062°		 ← 393.21 m → N 49.926472°
W 25.658570°		 →
↑
393.22 m
↓
↑
393.22 m
↓
N 49.922936°
W 25.664062°		 ← 393.24 m →
154 622 m²		 N 49.922936°
W 25.658570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428718566894531 y=0.339469909667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428718566894531 × 216)
    floor (0.428718566894531 × 65536)
    floor (28096.5)     		tx = 28096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339469909667969 × 216)
    floor (0.339469909667969 × 65536)
    floor (22247.5)     		ty = 22247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28096 / 22247 ti = "16/28096/22247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28096/22247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28096 ÷ 216
    28096 ÷ 65536     		x = 0.4287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22247 ÷ 216
    22247 ÷ 65536     		y = 0.339462280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    -0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339462280273438 × 2 - 1) × π
    0.321075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00868824180522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44792239} λ = -0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00868824180522))-π/2
    2×atan(2.7420018115443)-π/2
    2×1.22108882283606-π/2
    2.44217764567212-1.57079632675     		φ = 0.87138132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87138132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.926472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28096 KachelY 22247 -0.44792239 0.87138132 -25.664062 49.926472
    Oben rechts KachelX + 1 28097 KachelY 22247 -0.44782652 0.87138132 -25.658570 49.926472
    Unten links KachelX 28096 KachelY + 1 22248 -0.44792239 0.87131960 -25.664062 49.922936
    Unten rechts KachelX + 1 28097 KachelY + 1 22248 -0.44782652 0.87131960 -25.658570 49.922936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87138132-0.87131960) × R
    6.17200000000429e-05 × 6371000     		dl = 393.218120000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87138132-0.87131960) × R
    6.17200000000429e-05 × 6371000     		dr = 393.218120000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44792239--0.44782652) × cos(0.87138132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643770149549538 × 6371000     		do = 393.20693403592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44792239--0.44782652) × cos(0.87131960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643817377635035 × 6371000     		du = 393.235780372942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87138132)-sin(0.87131960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643770149549538-0.643817377635035)×R²
    abs(-0.44782652--0.44792239)×4.72280854973972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72280854973972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72280854973972e-05×40589641000000     		ar = 154621.762872916m²