Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28096 / 22208
↖ ↑ ↗
← N 75.715634°
W102.832031°		 ← 75.36 m → N 75.715634°
W102.829284°		 →
↑
75.37 m
↓
↑
75.37 m
↓
N 75.714956°
W102.832031°		 ← 75.36 m →
5 680 m²		 N 75.714956°
W102.829284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.214359283447266 y=0.169437408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.214359283447266 × 217)
    floor (0.214359283447266 × 131072)
    floor (28096.5)     		tx = 28096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169437408447266 × 217)
    floor (0.169437408447266 × 131072)
    floor (22208.5)     		ty = 22208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28096 / 22208 ti = "17/28096/22208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28096/22208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28096 ÷ 217
    28096 ÷ 131072     		x = 0.21435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22208 ÷ 217
    22208 ÷ 131072     		y = 0.16943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21435546875 × 2 - 1) × π
    -0.5712890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.79475752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16943359375 × 2 - 1) × π
    0.6611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07700998673779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.79475752} λ = -1.79475752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07700998673779))-π/2
    2×atan(7.98057119114442)-π/2
    2×1.44614171103983-π/2
    2.89228342207967-1.57079632675     		φ = 1.32148710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.79475752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.832031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32148710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.715634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28096 KachelY 22208 -1.79475752 1.32148710 -102.832031 75.715634
    Oben rechts KachelX + 1 28097 KachelY 22208 -1.79470958 1.32148710 -102.829284 75.715634
    Unten links KachelX 28096 KachelY + 1 22209 -1.79475752 1.32147527 -102.832031 75.714956
    Unten rechts KachelX + 1 28097 KachelY + 1 22209 -1.79470958 1.32147527 -102.829284 75.714956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32148710-1.32147527) × R
    1.18299999998239e-05 × 6371000     		dl = 75.3689299988782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32148710-1.32147527) × R
    1.18299999998239e-05 × 6371000     		dr = 75.3689299988782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.79475752--1.79470958) × cos(1.32148710) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.246734601542164 × 6371000     		do = 75.3590982599203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.79475752--1.79470958) × cos(1.32147527) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.24674606577786 × 6371000     		du = 75.3625997325913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32148710)-sin(1.32147527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246734601542164-0.24674606577786)×R²
    abs(-1.79470958--1.79475752)×1.14642356957295e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.14642356957295e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.14642356957295e-05×40589641000000     		ar = 5679.86655272287m²