Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28095 / 43203
↖ ↑ ↗
← S 49.621387°
W 25.669555°		 ← 395.69 m → S 49.621387°
W 25.664062°		 →
↑
395.70 m
↓
↑
395.70 m
↓
S 49.624945°
W 25.669555°		 ← 395.66 m →
156 570 m²		 S 49.624945°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428703308105469 y=0.659233093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428703308105469 × 216)
    floor (0.428703308105469 × 65536)
    floor (28095.5)     		tx = 28095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659233093261719 × 216)
    floor (0.659233093261719 × 65536)
    floor (43203.5)     		ty = 43203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28095 / 43203 ti = "16/28095/43203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28095/43203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28095 ÷ 216
    28095 ÷ 65536     		x = 0.428695678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43203 ÷ 216
    43203 ÷ 65536     		y = 0.659225463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428695678710938 × 2 - 1) × π
    -0.142608642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44801826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659225463867188 × 2 - 1) × π
    -0.318450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00044309507057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44801826} λ = -0.44801826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00044309507057))-π/2
    2×atan(0.367716471712643)-π/2
    2×0.352369871175086-π/2
    0.704739742350172-1.57079632675     		φ = -0.86605658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44801826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.669555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86605658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.621387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28095 KachelY 43203 -0.44801826 -0.86605658 -25.669555 -49.621387
    Oben rechts KachelX + 1 28096 KachelY 43203 -0.44792239 -0.86605658 -25.664062 -49.621387
    Unten links KachelX 28095 KachelY + 1 43204 -0.44801826 -0.86611869 -25.669555 -49.624945
    Unten rechts KachelX + 1 28096 KachelY + 1 43204 -0.44792239 -0.86611869 -25.664062 -49.624945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86605658--0.86611869) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dl = 395.702810000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86605658--0.86611869) × R
    6.21100000000041e-05 × 6371000     		dr = 395.702810000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44801826--0.44792239) × cos(-0.86605658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647835595744229 × 6371000     		do = 395.69005885123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44801826--0.44792239) × cos(-0.86611869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647788280327789 × 6371000     		du = 395.661159173536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86605658)-sin(-0.86611869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647835595744229-0.647788280327789)×R²
    abs(-0.44792239--0.44801826)×4.73154164400968e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73154164400968e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73154164400968e-05×40589641000000     		ar = 156569.950384776m²