Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28094 / 43210
↖ ↑ ↗
← S 49.646292°
W 25.675049°		 ← 395.53 m → S 49.646292°
W 25.669555°		 →
↑
395.45 m
↓
↑
395.45 m
↓
S 49.649848°
W 25.675049°		 ← 395.50 m →
156 405 m²		 S 49.649848°
W 25.669555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428688049316406 y=0.659339904785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428688049316406 × 216)
    floor (0.428688049316406 × 65536)
    floor (28094.5)     		tx = 28094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659339904785156 × 216)
    floor (0.659339904785156 × 65536)
    floor (43210.5)     		ty = 43210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28094 / 43210 ti = "16/28094/43210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28094/43210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28094 ÷ 216
    28094 ÷ 65536     		x = 0.428680419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43210 ÷ 216
    43210 ÷ 65536     		y = 0.659332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.14263916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44811414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.31866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00111421166525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44811414} λ = -0.44811414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00111421166525))-π/2
    2×atan(0.367469773877104)-π/2
    2×0.352152540132859-π/2
    0.704305080265719-1.57079632675     		φ = -0.86649125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44811414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86649125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.646292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28094 KachelY 43210 -0.44811414 -0.86649125 -25.675049 -49.646292
    Oben rechts KachelX + 1 28095 KachelY 43210 -0.44801826 -0.86649125 -25.669555 -49.646292
    Unten links KachelX 28094 KachelY + 1 43211 -0.44811414 -0.86655332 -25.675049 -49.649848
    Unten rechts KachelX + 1 28095 KachelY + 1 43211 -0.44801826 -0.86655332 -25.669555 -49.649848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86649125--0.86655332) × R
    6.20699999999141e-05 × 6371000     		dl = 395.447969999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86649125--0.86655332) × R
    6.20699999999141e-05 × 6371000     		dr = 395.447969999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44811414--0.44801826) × cos(-0.86649125) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.647504411563933 × 6371000     		do = 395.529028110327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44811414--0.44801826) × cos(-0.86655332) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.647457109146831 × 6371000     		du = 395.500133358833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86649125)-sin(-0.86655332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647504411563933-0.647457109146831)×R²
    abs(-0.44801826--0.44811414)×4.73024171014913e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73024171014913e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73024171014913e-05×40589641000000     		ar = 156405.438106691m²