Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28094 / 21707
↖ ↑ ↗
← N 51.798424°
W 25.675049°		 ← 377.77 m → N 51.798424°
W 25.669555°		 →
↑
377.74 m
↓
↑
377.74 m
↓
N 51.795027°
W 25.675049°		 ← 377.80 m →
142 703 m²		 N 51.795027°
W 25.669555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428688049316406 y=0.331230163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428688049316406 × 216)
    floor (0.428688049316406 × 65536)
    floor (28094.5)     		tx = 28094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331230163574219 × 216)
    floor (0.331230163574219 × 65536)
    floor (21707.5)     		ty = 21707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28094 / 21707 ti = "16/28094/21707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28094/21707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28094 ÷ 216
    28094 ÷ 65536     		x = 0.428680419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21707 ÷ 216
    21707 ÷ 65536     		y = 0.331222534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.14263916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44811414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331222534179688 × 2 - 1) × π
    0.337554931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06046009339488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44811414} λ = -0.44811414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06046009339488))-π/2
    2×atan(2.88769929504423)-π/2
    2×1.23742469074732-π/2
    2.47484938149463-1.57079632675     		φ = 0.90405305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44811414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90405305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.798424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28094 KachelY 21707 -0.44811414 0.90405305 -25.675049 51.798424
    Oben rechts KachelX + 1 28095 KachelY 21707 -0.44801826 0.90405305 -25.669555 51.798424
    Unten links KachelX 28094 KachelY + 1 21708 -0.44811414 0.90399376 -25.675049 51.795027
    Unten rechts KachelX + 1 28095 KachelY + 1 21708 -0.44801826 0.90399376 -25.669555 51.795027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90405305-0.90399376) × R
    5.92900000000451e-05 × 6371000     		dl = 377.736590000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90405305-0.90399376) × R
    5.92900000000451e-05 × 6371000     		dr = 377.736590000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44811414--0.44801826) × cos(0.90405305) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.61843000817886 × 6371000     		do = 377.76888577244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44811414--0.44801826) × cos(0.90399376) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.618476599538634 × 6371000     		du = 377.797346173513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90405305)-sin(0.90399376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61843000817886-0.618476599538634)×R²
    abs(-0.44801826--0.44811414)×4.65913597744727e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65913597744727e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65913597744727e-05×40589641000000     		ar = 142702.506029197m²