Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28092 / 9004
↖ ↑ ↗
← N 78.300501°
W 25.686035°		 ← 123.87 m → N 78.300501°
W 25.680542°		 →
↑
123.92 m
↓
↑
123.92 m
↓
N 78.299386°
W 25.686035°		 ← 123.88 m →
15 350 m²		 N 78.299386°
W 25.680542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428657531738281 y=0.137397766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428657531738281 × 216)
    floor (0.428657531738281 × 65536)
    floor (28092.5)     		tx = 28092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137397766113281 × 216)
    floor (0.137397766113281 × 65536)
    floor (9004.5)     		ty = 9004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28092 / 9004 ti = "16/28092/9004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28092/9004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28092 ÷ 216
    28092 ÷ 65536     		x = 0.42864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9004 ÷ 216
    9004 ÷ 65536     		y = 0.13739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.1427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44830589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13739013671875 × 2 - 1) × π
    0.7252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27834496514203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44830589} λ = -0.44830589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27834496514203))-π/2
    2×atan(9.76051304512211)-π/2
    2×1.46869893167252-π/2
    2.93739786334504-1.57079632675     		φ = 1.36660154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44830589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.686035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36660154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.300501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28092 KachelY 9004 -0.44830589 1.36660154 -25.686035 78.300501
    Oben rechts KachelX + 1 28093 KachelY 9004 -0.44821001 1.36660154 -25.680542 78.300501
    Unten links KachelX 28092 KachelY + 1 9005 -0.44830589 1.36658209 -25.686035 78.299386
    Unten rechts KachelX + 1 28093 KachelY + 1 9005 -0.44821001 1.36658209 -25.680542 78.299386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36660154-1.36658209) × R
    1.94499999999209e-05 × 6371000     		dl = 123.915949999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36660154-1.36658209) × R
    1.94499999999209e-05 × 6371000     		dr = 123.915949999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44830589--0.44821001) × cos(1.36660154) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.202778741163388 × 6371000     		do = 123.867694152183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44830589--0.44821001) × cos(1.36658209) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.202797787043152 × 6371000     		du = 123.879328356025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36660154)-sin(1.36658209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202778741163388-0.202797787043152)×R²
    abs(-0.44821001--0.44830589)×1.90458797641457e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.90458797641457e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.90458797641457e-05×40589641000000     		ar = 15349.9038271869m²