Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28091 / 21607
↖ ↑ ↗
← N 52.136860°
W 25.691528°		 ← 374.89 m → N 52.136860°
W 25.686035°		 →
↑
374.87 m
↓
↑
374.87 m
↓
N 52.133488°
W 25.691528°		 ← 374.92 m →
140 539 m²		 N 52.133488°
W 25.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428642272949219 y=0.329704284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428642272949219 × 216)
    floor (0.428642272949219 × 65536)
    floor (28091.5)     		tx = 28091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329704284667969 × 216)
    floor (0.329704284667969 × 65536)
    floor (21607.5)     		ty = 21607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28091 / 21607 ti = "16/28091/21607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28091/21607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28091 ÷ 216
    28091 ÷ 65536     		x = 0.428634643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21607 ÷ 216
    21607 ÷ 65536     		y = 0.329696655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428634643554688 × 2 - 1) × π
    -0.142730712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44840176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329696655273438 × 2 - 1) × π
    0.340606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07004747331889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44840176} λ = -0.44840176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07004747331889))-π/2
    2×atan(2.91551790600297)-π/2
    2×1.24037809551921-π/2
    2.48075619103841-1.57079632675     		φ = 0.90995986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44840176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.691528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90995986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.136860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28091 KachelY 21607 -0.44840176 0.90995986 -25.691528 52.136860
    Oben rechts KachelX + 1 28092 KachelY 21607 -0.44830589 0.90995986 -25.686035 52.136860
    Unten links KachelX 28091 KachelY + 1 21608 -0.44840176 0.90990102 -25.691528 52.133488
    Unten rechts KachelX + 1 28092 KachelY + 1 21608 -0.44830589 0.90990102 -25.686035 52.133488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90995986-0.90990102) × R
    5.88400000000044e-05 × 6371000     		dl = 374.869640000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90995986-0.90990102) × R
    5.88400000000044e-05 × 6371000     		dr = 374.869640000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44840176--0.44830589) × cos(0.90995986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613777439674475 × 6371000     		do = 374.887753655074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44840176--0.44830589) × cos(0.90990102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613823891562393 × 6371000     		du = 374.916125900107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90995986)-sin(0.90990102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613777439674475-0.613823891562393)×R²
    abs(-0.44830589--0.44840176)×4.64518879179643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64518879179643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64518879179643e-05×40589641000000     		ar = 140539.355240126m²