Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28090 / 22261
↖ ↑ ↗
← N 49.876938°
W 25.697021°		 ← 393.61 m → N 49.876938°
W 25.691528°		 →
↑
393.66 m
↓
↑
393.66 m
↓
N 49.873398°
W 25.697021°		 ← 393.64 m →
154 956 m²		 N 49.873398°
W 25.691528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428627014160156 y=0.339683532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428627014160156 × 216)
    floor (0.428627014160156 × 65536)
    floor (28090.5)     		tx = 28090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339683532714844 × 216)
    floor (0.339683532714844 × 65536)
    floor (22261.5)     		ty = 22261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28090 / 22261 ti = "16/28090/22261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28090/22261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28090 ÷ 216
    28090 ÷ 65536     		x = 0.428619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22261 ÷ 216
    22261 ÷ 65536     		y = 0.339675903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.14276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44849763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339675903320312 × 2 - 1) × π
    0.320648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00734600861586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44849763} λ = -0.44849763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00734600861586))-π/2
    2×atan(2.73832387458426)-π/2
    2×1.22065655610571-π/2
    2.44131311221142-1.57079632675     		φ = 0.87051679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44849763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.697021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87051679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.876938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28090 KachelY 22261 -0.44849763 0.87051679 -25.697021 49.876938
    Oben rechts KachelX + 1 28091 KachelY 22261 -0.44840176 0.87051679 -25.691528 49.876938
    Unten links KachelX 28090 KachelY + 1 22262 -0.44849763 0.87045500 -25.697021 49.873398
    Unten rechts KachelX + 1 28091 KachelY + 1 22262 -0.44840176 0.87045500 -25.691528 49.873398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87051679-0.87045500) × R
    6.17900000000615e-05 × 6371000     		dl = 393.664090000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87051679-0.87045500) × R
    6.17900000000615e-05 × 6371000     		dr = 393.664090000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44849763--0.44840176) × cos(0.87051679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644431463598693 × 6371000     		do = 393.610856569273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44849763--0.44840176) × cos(0.87045500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644478710838047 × 6371000     		du = 393.639714605237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87051679)-sin(0.87045500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644431463598693-0.644478710838047)×R²
    abs(-0.44840176--0.44849763)×4.72472393544532e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72472393544532e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72472393544532e-05×40589641000000     		ar = 154956.139900956m²