Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2809 / 765
↖ ↑ ↗
← N 74.091974°
E 66.884766°		 ← 2 678.72 m → N 74.091974°
E 66.972656°		 →
↑
2 680.66 m
↓
↑
2 680.66 m
↓
N 74.067866°
E 66.884766°		 ← 2 682.67 m →
7 186 033 m²		 N 74.067866°
E 66.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6859130859375 y=0.1868896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6859130859375 × 212)
    floor (0.6859130859375 × 4096)
    floor (2809.5)     		tx = 2809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1868896484375 × 212)
    floor (0.1868896484375 × 4096)
    floor (765.5)     		ty = 765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2809 / 765 ti = "12/2809/765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2809/765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2809 ÷ 212
    2809 ÷ 4096     		x = 0.685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 765 ÷ 212
    765 ÷ 4096     		y = 0.186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.685791015625 × 2 - 1) × π
    0.37158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16735938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.186767578125 × 2 - 1) × π
    0.62646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96809735080103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16735938} λ = 1.16735938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96809735080103))-π/2
    2×atan(7.15704617743192)-π/2
    2×1.43197261393014-π/2
    2.86394522786029-1.57079632675     		φ = 1.29314890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16735938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.884766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29314890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.091974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2809 KachelY 765 1.16735938 1.29314890 66.884766 74.091974
    Oben rechts KachelX + 1 2810 KachelY 765 1.16889336 1.29314890 66.972656 74.091974
    Unten links KachelX 2809 KachelY + 1 766 1.16735938 1.29272814 66.884766 74.067866
    Unten rechts KachelX + 1 2810 KachelY + 1 766 1.16889336 1.29272814 66.972656 74.067866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29314890-1.29272814) × R
    0.000420760000000131 × 6371000     		dl = 2680.66196000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29314890-1.29272814) × R
    0.000420760000000131 × 6371000     		dr = 2680.66196000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16735938-1.16889336) × cos(1.29314890) × R
    0.00153398000000005 × 0.274093932618175 × 6371000     		do = 2678.71632513693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16735938-1.16889336) × cos(1.29272814) × R
    0.00153398000000005 × 0.274498554466336 × 6371000     		du = 2682.67068902899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29314890)-sin(1.29272814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.274093932618175-0.274498554466336)×R²
    abs(1.16889336-1.16735938)×0.000404621848161424×R²
    0.00153398000000005×0.000404621848161424×6371000²
    0.00153398000000005×0.000404621848161424×40589641000000     		ar = 7186033.21687864m²