Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2809 / 5975
↖ ↑ ↗
← S 63.371832°
W 56.557617°		 ← 2 190.12 m → S 63.371832°
W 56.513672°		 →
↑
2 189.33 m
↓
↑
2 189.33 m
↓
S 63.391522°
W 56.557617°		 ← 2 188.62 m →
4 793 252 m²		 S 63.391522°
W 56.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34295654296875 y=0.72943115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34295654296875 × 213)
    floor (0.34295654296875 × 8192)
    floor (2809.5)     		tx = 2809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72943115234375 × 213)
    floor (0.72943115234375 × 8192)
    floor (5975.5)     		ty = 5975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2809 / 5975 ti = "13/2809/5975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2809/5975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2809 ÷ 213
    2809 ÷ 8192     		x = 0.3428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5975 ÷ 213
    5975 ÷ 8192     		y = 0.7293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98711664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7293701171875 × 2 - 1) × π
    -0.458740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44117495017737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98711664} λ = -0.98711664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44117495017737))-π/2
    2×atan(0.236649543846327)-π/2
    2×0.232374600368121-π/2
    0.464749200736243-1.57079632675     		φ = -1.10604713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98711664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10604713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.371832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2809 KachelY 5975 -0.98711664 -1.10604713 -56.557617 -63.371832
    Oben rechts KachelX + 1 2810 KachelY 5975 -0.98634965 -1.10604713 -56.513672 -63.371832
    Unten links KachelX 2809 KachelY + 1 5976 -0.98711664 -1.10639077 -56.557617 -63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 2810 KachelY + 1 5976 -0.98634965 -1.10639077 -56.513672 -63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10604713--1.10639077) × R
    0.000343639999999867 × 6371000     		dl = 2189.33043999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10604713--1.10639077) × R
    0.000343639999999867 × 6371000     		dr = 2189.33043999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98711664--0.98634965) × cos(-1.10604713) × R
    0.000766990000000023 × 0.448198614031139 × 6371000     		do = 2190.11952005052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98711664--0.98634965) × cos(-1.10639077) × R
    0.000766990000000023 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 2188.61830165591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10604713)-sin(-1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448198614031139-0.447891396092727)×R²
    abs(-0.98634965--0.98711664)×0.000307217938411319×R²
    0.000766990000000023×0.000307217938411319×6371000²
    0.000766990000000023×0.000307217938411319×40589641000000     		ar = 4793252.04808725m²