Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28088 / 43209
↖ ↑ ↗
← S 49.642735°
W 25.708008°		 ← 395.52 m → S 49.642735°
W 25.702515°		 →
↑
395.51 m
↓
↑
395.51 m
↓
S 49.646292°
W 25.708008°		 ← 395.49 m →
156 426 m²		 S 49.646292°
W 25.702515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428596496582031 y=0.659324645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428596496582031 × 216)
    floor (0.428596496582031 × 65536)
    floor (28088.5)     		tx = 28088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659324645996094 × 216)
    floor (0.659324645996094 × 65536)
    floor (43209.5)     		ty = 43209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28088 / 43209 ti = "16/28088/43209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28088/43209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28088 ÷ 216
    28088 ÷ 65536     		x = 0.4285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43209 ÷ 216
    43209 ÷ 65536     		y = 0.659317016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44868938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659317016601562 × 2 - 1) × π
    -0.318634033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00101833786601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44868938} λ = -0.44868938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00101833786601))-π/2
    2×atan(0.367505006289337)-π/2
    2×0.352183580620869-π/2
    0.704367161241738-1.57079632675     		φ = -0.86642917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44868938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86642917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.642735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28088 KachelY 43209 -0.44868938 -0.86642917 -25.708008 -49.642735
    Oben rechts KachelX + 1 28089 KachelY 43209 -0.44859351 -0.86642917 -25.702515 -49.642735
    Unten links KachelX 28088 KachelY + 1 43210 -0.44868938 -0.86649125 -25.708008 -49.646292
    Unten rechts KachelX + 1 28089 KachelY + 1 43210 -0.44859351 -0.86649125 -25.702515 -49.646292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86642917--0.86649125) × R
    6.20800000000754e-05 × 6371000     		dl = 395.51168000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86642917--0.86649125) × R
    6.20800000000754e-05 × 6371000     		dr = 395.51168000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44868938--0.44859351) × cos(-0.86642917) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.647551719106619 × 6371000     		do = 395.516670473018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44868938--0.44859351) × cos(-0.86649125) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.647504411563933 × 6371000     		du = 395.487775604517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86642917)-sin(-0.86649125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647551719106619-0.647504411563933)×R²
    abs(-0.44859351--0.44868938)×4.73075426861147e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.73075426861147e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.73075426861147e-05×40589641000000     		ar = 156425.748728202m²