Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28088 / 22085
↖ ↑ ↗
← N 50.495958°
W 25.708008°		 ← 388.54 m → N 50.495958°
W 25.702515°		 →
↑
388.57 m
↓
↑
388.57 m
↓
N 50.492463°
W 25.708008°		 ← 388.57 m →
150 980 m²		 N 50.492463°
W 25.702515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428596496582031 y=0.336997985839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428596496582031 × 216)
    floor (0.428596496582031 × 65536)
    floor (28088.5)     		tx = 28088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336997985839844 × 216)
    floor (0.336997985839844 × 65536)
    floor (22085.5)     		ty = 22085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28088 / 22085 ti = "16/28088/22085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28088/22085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28088 ÷ 216
    28088 ÷ 65536     		x = 0.4285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22085 ÷ 216
    22085 ÷ 65536     		y = 0.336990356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44868938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336990356445312 × 2 - 1) × π
    0.326019287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02421979728212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44868938} λ = -0.44868938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02421979728212))-π/2
    2×atan(2.78492180916715)-π/2
    2×1.22605852512246-π/2
    2.45211705024492-1.57079632675     		φ = 0.88132072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44868938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88132072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.495958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28088 KachelY 22085 -0.44868938 0.88132072 -25.708008 50.495958
    Oben rechts KachelX + 1 28089 KachelY 22085 -0.44859351 0.88132072 -25.702515 50.495958
    Unten links KachelX 28088 KachelY + 1 22086 -0.44868938 0.88125973 -25.708008 50.492463
    Unten rechts KachelX + 1 28089 KachelY + 1 22086 -0.44859351 0.88125973 -25.702515 50.492463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88132072-0.88125973) × R
    6.09899999999275e-05 × 6371000     		dl = 388.567289999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88132072-0.88125973) × R
    6.09899999999275e-05 × 6371000     		dr = 388.567289999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44868938--0.44859351) × cos(0.88132072) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.636132658550661 × 6371000     		do = 388.542047940546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44868938--0.44859351) × cos(0.88125973) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.636179716013685 × 6371000     		du = 388.570790063448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88132072)-sin(0.88125973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636132658550661-0.636179716013685)×R²
    abs(-0.44859351--0.44868938)×4.70574630244691e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.70574630244691e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.70574630244691e-05×40589641000000     		ar = 150980.314790007m²