Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28087 / 9003
↖ ↑ ↗
← N 78.301614°
W 25.713501°		 ← 123.84 m → N 78.301614°
W 25.708008°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
N 78.300501°
W 25.713501°		 ← 123.85 m →
15 339 m²		 N 78.300501°
W 25.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428581237792969 y=0.137382507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428581237792969 × 216)
    floor (0.428581237792969 × 65536)
    floor (28087.5)     		tx = 28087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137382507324219 × 216)
    floor (0.137382507324219 × 65536)
    floor (9003.5)     		ty = 9003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28087 / 9003 ti = "16/28087/9003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28087/9003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28087 ÷ 216
    28087 ÷ 65536     		x = 0.428573608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9003 ÷ 216
    9003 ÷ 65536     		y = 0.137374877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.142852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44878525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137374877929688 × 2 - 1) × π
    0.725250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27844083894127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44878525} λ = -0.44878525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27844083894127))-π/2
    2×atan(9.76144886744998)-π/2
    2×1.46870865180056-π/2
    2.93741730360113-1.57079632675     		φ = 1.36662098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44878525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.713501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36662098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.301614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28087 KachelY 9003 -0.44878525 1.36662098 -25.713501 78.301614
    Oben rechts KachelX + 1 28088 KachelY 9003 -0.44868938 1.36662098 -25.708008 78.301614
    Unten links KachelX 28087 KachelY + 1 9004 -0.44878525 1.36660154 -25.713501 78.300501
    Unten rechts KachelX + 1 28088 KachelY + 1 9004 -0.44868938 1.36660154 -25.708008 78.300501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36662098-1.36660154) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36662098-1.36660154) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44878525--0.44868938) × cos(1.36662098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202759704999197 × 6371000     		do = 123.843148062315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44878525--0.44868938) × cos(1.36660154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202778741163388 × 6371000     		du = 123.85477511859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36662098)-sin(1.36660154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202759704999197-0.202778741163388)×R²
    abs(-0.44868938--0.44878525)×1.90361641906889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90361641906889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90361641906889e-05×40589641000000     		ar = 15338.9713149832m²