Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28087 / 7098
↖ ↑ ↗
← N 80.244087°
W 25.713501°		 ← 103.50 m → N 80.244087°
W 25.708008°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
N 80.243156°
W 25.713501°		 ← 103.51 m →
10 709 m²		 N 80.243156°
W 25.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428581237792969 y=0.108314514160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428581237792969 × 216)
    floor (0.428581237792969 × 65536)
    floor (28087.5)     		tx = 28087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108314514160156 × 216)
    floor (0.108314514160156 × 65536)
    floor (7098.5)     		ty = 7098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28087 / 7098 ti = "16/28087/7098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28087/7098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28087 ÷ 216
    28087 ÷ 65536     		x = 0.428573608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7098 ÷ 216
    7098 ÷ 65536     		y = 0.108306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428573608398438 × 2 - 1) × π
    -0.142852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44878525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108306884765625 × 2 - 1) × π
    0.78338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46108042649368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44878525} λ = -0.44878525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46108042649368))-π/2
    2×atan(11.7174645625718)-π/2
    2×1.48565992570247-π/2
    2.97131985140495-1.57079632675     		φ = 1.40052352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44878525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.713501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40052352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.244087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28087 KachelY 7098 -0.44878525 1.40052352 -25.713501 80.244087
    Oben rechts KachelX + 1 28088 KachelY 7098 -0.44868938 1.40052352 -25.708008 80.244087
    Unten links KachelX 28087 KachelY + 1 7099 -0.44878525 1.40050728 -25.713501 80.243156
    Unten rechts KachelX + 1 28088 KachelY + 1 7099 -0.44868938 1.40050728 -25.708008 80.243156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40052352-1.40050728) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dl = 103.465039999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40052352-1.40050728) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dr = 103.465039999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44878525--0.44868938) × cos(1.40052352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169451216989445 × 6371000     		do = 103.498730948767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44878525--0.44868938) × cos(1.40050728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169467222113576 × 6371000     		du = 103.508506682843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40052352)-sin(1.40050728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169451216989445-0.169467222113576)×R²
    abs(-0.44868938--0.44878525)×1.6005124130386e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6005124130386e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6005124130386e-05×40589641000000     		ar = 10709.0060612217m²