Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28085 / 7101
↖ ↑ ↗
← N 80.241294°
W 25.724487°		 ← 103.53 m → N 80.241294°
W 25.718994°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
N 80.240363°
W 25.724487°		 ← 103.54 m →
10 719 m²		 N 80.240363°
W 25.718994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428550720214844 y=0.108360290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428550720214844 × 216)
    floor (0.428550720214844 × 65536)
    floor (28085.5)     		tx = 28085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108360290527344 × 216)
    floor (0.108360290527344 × 65536)
    floor (7101.5)     		ty = 7101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28085 / 7101 ti = "16/28085/7101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28085/7101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28085 ÷ 216
    28085 ÷ 65536     		x = 0.428543090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7101 ÷ 216
    7101 ÷ 65536     		y = 0.108352661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428543090820312 × 2 - 1) × π
    -0.142913818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44897700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108352661132812 × 2 - 1) × π
    0.783294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46079280509596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44897700} λ = -0.44897700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46079280509596))-π/2
    2×atan(11.71409485366)-π/2
    2×1.48563555335104-π/2
    2.97127110670209-1.57079632675     		φ = 1.40047478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44897700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.724487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40047478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.241294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28085 KachelY 7101 -0.44897700 1.40047478 -25.724487 80.241294
    Oben rechts KachelX + 1 28086 KachelY 7101 -0.44888113 1.40047478 -25.718994 80.241294
    Unten links KachelX 28085 KachelY + 1 7102 -0.44897700 1.40045853 -25.724487 80.240363
    Unten rechts KachelX + 1 28086 KachelY + 1 7102 -0.44888113 1.40045853 -25.718994 80.240363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40047478-1.40045853) × R
    1.62499999998289e-05 × 6371000     		dl = 103.52874999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40047478-1.40045853) × R
    1.62499999998289e-05 × 6371000     		dr = 103.52874999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44897700--0.44888113) × cos(1.40047478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169499251938354 × 6371000     		do = 103.528070108093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44897700--0.44888113) × cos(1.40045853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169515266783608 × 6371000     		du = 103.537851779713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40047478)-sin(1.40045853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169499251938354-0.169515266783608)×R²
    abs(-0.44888113--0.44897700)×1.60148452535702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60148452535702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60148452535702e-05×40589641000000     		ar = 10718.6380302874m²