Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28085 / 21611
↖ ↑ ↗
← N 52.123372°
W 25.724487°		 ← 375 m → N 52.123372°
W 25.718994°		 →
↑
375.06 m
↓
↑
375.06 m
↓
N 52.119999°
W 25.724487°		 ← 375.03 m →
140 654 m²		 N 52.119999°
W 25.718994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428550720214844 y=0.329765319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428550720214844 × 216)
    floor (0.428550720214844 × 65536)
    floor (28085.5)     		tx = 28085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329765319824219 × 216)
    floor (0.329765319824219 × 65536)
    floor (21611.5)     		ty = 21611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28085 / 21611 ti = "16/28085/21611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28085/21611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28085 ÷ 216
    28085 ÷ 65536     		x = 0.428543090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21611 ÷ 216
    21611 ÷ 65536     		y = 0.329757690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428543090820312 × 2 - 1) × π
    -0.142913818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44897700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329757690429688 × 2 - 1) × π
    0.340484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06966397812193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44897700} λ = -0.44897700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06966397812193))-π/2
    2×atan(2.91440003325248)-π/2
    2×1.24026038735303-π/2
    2.48052077470606-1.57079632675     		φ = 0.90972445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44897700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.724487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90972445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.123372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28085 KachelY 21611 -0.44897700 0.90972445 -25.724487 52.123372
    Oben rechts KachelX + 1 28086 KachelY 21611 -0.44888113 0.90972445 -25.718994 52.123372
    Unten links KachelX 28085 KachelY + 1 21612 -0.44897700 0.90966558 -25.724487 52.119999
    Unten rechts KachelX + 1 28086 KachelY + 1 21612 -0.44888113 0.90966558 -25.718994 52.119999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90972445-0.90966558) × R
    5.88700000000442e-05 × 6371000     		dl = 375.060770000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90972445-0.90966558) × R
    5.88700000000442e-05 × 6371000     		dr = 375.060770000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44897700--0.44888113) × cos(0.90972445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613963273941347 × 6371000     		do = 375.001258952526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44897700--0.44888113) × cos(0.90966558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614009741004857 × 6371000     		du = 375.029640466626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90972445)-sin(0.90966558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613963273941347-0.614009741004857)×R²
    abs(-0.44888113--0.44897700)×4.64670635097475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64670635097475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64670635097475e-05×40589641000000     		ar = 140653.583371097m²