Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28085 / 14718
↖ ↑ ↗
← N 69.903893°
W 25.724487°		 ← 209.86 m → N 69.903893°
W 25.718994°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
N 69.902006°
W 25.724487°		 ← 209.88 m →
44 044 m²		 N 69.902006°
W 25.718994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428550720214844 y=0.224586486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428550720214844 × 216)
    floor (0.428550720214844 × 65536)
    floor (28085.5)     		tx = 28085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224586486816406 × 216)
    floor (0.224586486816406 × 65536)
    floor (14718.5)     		ty = 14718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28085 / 14718 ti = "16/28085/14718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28085/14718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28085 ÷ 216
    28085 ÷ 65536     		x = 0.428543090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14718 ÷ 216
    14718 ÷ 65536     		y = 0.224578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428543090820312 × 2 - 1) × π
    -0.142913818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44897700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224578857421875 × 2 - 1) × π
    0.55084228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73052207628403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44897700} λ = -0.44897700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73052207628403))-π/2
    2×atan(5.64359952891271)-π/2
    2×1.39542470825689-π/2
    2.79084941651377-1.57079632675     		φ = 1.22005309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44897700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.724487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22005309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.903893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28085 KachelY 14718 -0.44897700 1.22005309 -25.724487 69.903893
    Oben rechts KachelX + 1 28086 KachelY 14718 -0.44888113 1.22005309 -25.718994 69.903893
    Unten links KachelX 28085 KachelY + 1 14719 -0.44897700 1.22002015 -25.724487 69.902006
    Unten rechts KachelX + 1 28086 KachelY + 1 14719 -0.44888113 1.22002015 -25.718994 69.902006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22005309-1.22002015) × R
    3.29399999998703e-05 × 6371000     		dl = 209.860739999174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22005309-1.22002015) × R
    3.29399999998703e-05 × 6371000     		dr = 209.860739999174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44897700--0.44888113) × cos(1.22005309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343595889046952 × 6371000     		do = 209.864166852151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44897700--0.44888113) × cos(1.22002015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343626823394254 × 6371000     		du = 209.883061173156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22005309)-sin(1.22002015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343595889046952-0.343626823394254)×R²
    abs(-0.44888113--0.44897700)×3.09343473019474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09343473019474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09343473019474e-05×40589641000000     		ar = 44044.231947043m²