Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28084 / 8998
↖ ↑ ↗
← N 78.307182°
W 25.729981°		 ← 123.80 m → N 78.307182°
W 25.724487°		 →
↑
123.79 m
↓
↑
123.79 m
↓
N 78.306069°
W 25.729981°		 ← 123.81 m →
15 325 m²		 N 78.306069°
W 25.724487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428535461425781 y=0.137306213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428535461425781 × 216)
    floor (0.428535461425781 × 65536)
    floor (28084.5)     		tx = 28084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137306213378906 × 216)
    floor (0.137306213378906 × 65536)
    floor (8998.5)     		ty = 8998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28084 / 8998 ti = "16/28084/8998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28084/8998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28084 ÷ 216
    28084 ÷ 65536     		x = 0.42852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8998 ÷ 216
    8998 ÷ 65536     		y = 0.137298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44907288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137298583984375 × 2 - 1) × π
    0.72540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27892020793747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44907288} λ = -0.44907288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27892020793747))-π/2
    2×atan(9.76612932513856)-π/2
    2×1.46875723875483-π/2
    2.93751447750965-1.57079632675     		φ = 1.36671815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44907288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36671815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.307182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28084 KachelY 8998 -0.44907288 1.36671815 -25.729981 78.307182
    Oben rechts KachelX + 1 28085 KachelY 8998 -0.44897700 1.36671815 -25.724487 78.307182
    Unten links KachelX 28084 KachelY + 1 8999 -0.44907288 1.36669872 -25.729981 78.306069
    Unten rechts KachelX + 1 28085 KachelY + 1 8999 -0.44897700 1.36669872 -25.724487 78.306069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36671815-1.36669872) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dl = 123.788530000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36671815-1.36669872) × R
    1.94300000000425e-05 × 6371000     		dr = 123.788530000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44907288--0.44897700) × cos(1.36671815) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.20266455240645 × 6371000     		do = 123.797941781008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44907288--0.44897700) × cos(1.36669872) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.202683579161136 × 6371000     		du = 123.809564302267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36671815)-sin(1.36669872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20266455240645-0.202683579161136)×R²
    abs(-0.44897700--0.44907288)×1.90267546860134e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.90267546860134e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.90267546860134e-05×40589641000000     		ar = 15325.4845979737m²