Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28084 / 7092
↖ ↑ ↗
← N 80.249670°
W 25.729981°		 ← 103.45 m → N 80.249670°
W 25.724487°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
N 80.248740°
W 25.729981°		 ← 103.46 m →
10 697 m²		 N 80.248740°
W 25.724487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428535461425781 y=0.108222961425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428535461425781 × 216)
    floor (0.428535461425781 × 65536)
    floor (28084.5)     		tx = 28084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108222961425781 × 216)
    floor (0.108222961425781 × 65536)
    floor (7092.5)     		ty = 7092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28084 / 7092 ti = "16/28084/7092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28084/7092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28084 ÷ 216
    28084 ÷ 65536     		x = 0.42852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7092 ÷ 216
    7092 ÷ 65536     		y = 0.10821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44907288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10821533203125 × 2 - 1) × π
    0.7835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46165566928912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44907288} λ = -0.44907288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46165566928912))-π/2
    2×atan(11.7242068886936)-π/2
    2×1.48570864968426-π/2
    2.97141729936853-1.57079632675     		φ = 1.40062097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44907288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40062097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.249670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28084 KachelY 7092 -0.44907288 1.40062097 -25.729981 80.249670
    Oben rechts KachelX + 1 28085 KachelY 7092 -0.44897700 1.40062097 -25.724487 80.249670
    Unten links KachelX 28084 KachelY + 1 7093 -0.44907288 1.40060474 -25.729981 80.248740
    Unten rechts KachelX + 1 28085 KachelY + 1 7093 -0.44897700 1.40060474 -25.724487 80.248740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40062097-1.40060474) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dl = 103.401330001099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40062097-1.40060474) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dr = 103.401330001099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44907288--0.44897700) × cos(1.40062097) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.169355175450755 × 6371000     		do = 103.450859569746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44907288--0.44897700) × cos(1.40060474) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.169371170987471 × 6371000     		du = 103.460630467022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40062097)-sin(1.40060474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169355175450755-0.169371170987471)×R²
    abs(-0.44897700--0.44907288)×1.59955367154407e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.59955367154407e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.59955367154407e-05×40589641000000     		ar = 10697.4616312387m²