Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28083 / 6803
↖ ↑ ↗
← N 80.514887°
W 25.735474°		 ← 100.65 m → N 80.514887°
W 25.729981°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 80.513982°
W 25.735474°		 ← 100.66 m →
10 132 m²		 N 80.513982°
W 25.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428520202636719 y=0.103813171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428520202636719 × 216)
    floor (0.428520202636719 × 65536)
    floor (28083.5)     		tx = 28083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103813171386719 × 216)
    floor (0.103813171386719 × 65536)
    floor (6803.5)     		ty = 6803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28083 / 6803 ti = "16/28083/6803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28083/6803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28083 ÷ 216
    28083 ÷ 65536     		x = 0.428512573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6803 ÷ 216
    6803 ÷ 65536     		y = 0.103805541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428512573242188 × 2 - 1) × π
    -0.142974853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44916875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103805541992188 × 2 - 1) × π
    0.792388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48936319726952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44916875} λ = -0.44916875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48936319726952))-π/2
    2×atan(12.0535979118897)-π/2
    2×1.48802310329058-π/2
    2.97604620658117-1.57079632675     		φ = 1.40524988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44916875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.735474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40524988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.514887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28083 KachelY 6803 -0.44916875 1.40524988 -25.735474 80.514887
    Oben rechts KachelX + 1 28084 KachelY 6803 -0.44907288 1.40524988 -25.729981 80.514887
    Unten links KachelX 28083 KachelY + 1 6804 -0.44916875 1.40523408 -25.735474 80.513982
    Unten rechts KachelX + 1 28084 KachelY + 1 6804 -0.44907288 1.40523408 -25.729981 80.513982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40524988-1.40523408) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dl = 100.661799999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40524988-1.40523408) × R
    1.57999999998992e-05 × 6371000     		dr = 100.661799999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44916875--0.44907288) × cos(1.40524988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164791331589152 × 6371000     		do = 100.652529936667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44916875--0.44907288) × cos(1.40523408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164806915558138 × 6371000     		du = 100.662048434331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40524988)-sin(1.40523408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164791331589152-0.164806915558138)×R²
    abs(-0.44907288--0.44916875)×1.55839689860993e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55839689860993e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55839689860993e-05×40589641000000     		ar = 10132.3439129886m²