Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28082 / 7084
↖ ↑ ↗
← N 80.257110°
W 25.740967°		 ← 103.36 m → N 80.257110°
W 25.735474°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
N 80.256180°
W 25.740967°		 ← 103.37 m →
10 688 m²		 N 80.256180°
W 25.735474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428504943847656 y=0.108100891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428504943847656 × 216)
    floor (0.428504943847656 × 65536)
    floor (28082.5)     		tx = 28082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108100891113281 × 216)
    floor (0.108100891113281 × 65536)
    floor (7084.5)     		ty = 7084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28082 / 7084 ti = "16/28082/7084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28082/7084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28082 ÷ 216
    28082 ÷ 65536     		x = 0.428497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7084 ÷ 216
    7084 ÷ 65536     		y = 0.10809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.14300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44926462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10809326171875 × 2 - 1) × π
    0.7838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46242265968304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44926462} λ = -0.44926462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46242265968304))-π/2
    2×atan(11.73320269216)-π/2
    2×1.48577357203861-π/2
    2.97154714407723-1.57079632675     		φ = 1.40075082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44926462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40075082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.257110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28082 KachelY 7084 -0.44926462 1.40075082 -25.740967 80.257110
    Oben rechts KachelX + 1 28083 KachelY 7084 -0.44916875 1.40075082 -25.735474 80.257110
    Unten links KachelX 28082 KachelY + 1 7085 -0.44926462 1.40073459 -25.740967 80.256180
    Unten rechts KachelX + 1 28083 KachelY + 1 7085 -0.44916875 1.40073459 -25.735474 80.256180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40075082-1.40073459) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dl = 103.401330001099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40075082-1.40073459) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dr = 103.401330001099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44926462--0.44916875) × cos(1.40075082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169227199695644 × 6371000     		do = 103.361903925445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44926462--0.44916875) × cos(1.40073459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169243195589152 × 6371000     		du = 103.37167402157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40075082)-sin(1.40073459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169227199695644-0.169243195589152)×R²
    abs(-0.44916875--0.44926462)×1.59958935076476e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59958935076476e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59958935076476e-05×40589641000000     		ar = 10688.2634577387m²