Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28082 / 43154
↖ ↑ ↗
← S 49.446700°
W 25.740967°		 ← 397.11 m → S 49.446700°
W 25.735474°		 →
↑
397.10 m
↓
↑
397.10 m
↓
S 49.450271°
W 25.740967°		 ← 397.08 m →
157 687 m²		 S 49.450271°
W 25.735474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428504943847656 y=0.658485412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428504943847656 × 216)
    floor (0.428504943847656 × 65536)
    floor (28082.5)     		tx = 28082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658485412597656 × 216)
    floor (0.658485412597656 × 65536)
    floor (43154.5)     		ty = 43154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28082 / 43154 ti = "16/28082/43154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28082/43154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28082 ÷ 216
    28082 ÷ 65536     		x = 0.428497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43154 ÷ 216
    43154 ÷ 65536     		y = 0.658477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.14300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44926462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.31695556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.995745278907806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44926462} λ = -0.44926462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995745278907806))-π/2
    2×atan(0.36944800011333)-π/2
    2×0.353894301192341-π/2
    0.707788602384683-1.57079632675     		φ = -0.86300772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44926462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86300772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.446700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28082 KachelY 43154 -0.44926462 -0.86300772 -25.740967 -49.446700
    Oben rechts KachelX + 1 28083 KachelY 43154 -0.44916875 -0.86300772 -25.735474 -49.446700
    Unten links KachelX 28082 KachelY + 1 43155 -0.44926462 -0.86307005 -25.740967 -49.450271
    Unten rechts KachelX + 1 28083 KachelY + 1 43155 -0.44916875 -0.86307005 -25.735474 -49.450271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86300772--0.86307005) × R
    6.23299999999993e-05 × 6371000     		dl = 397.104429999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86300772--0.86307005) × R
    6.23299999999993e-05 × 6371000     		dr = 397.104429999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44926462--0.44916875) × cos(-0.86300772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65015514227119 × 6371000     		do = 397.106809501844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44926462--0.44916875) × cos(-0.86307005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650107782581956 × 6371000     		du = 397.077882782869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86300772)-sin(-0.86307005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65015514227119-0.650107782581956)×R²
    abs(-0.44916875--0.44926462)×4.73596892341943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73596892341943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73596892341943e-05×40589641000000     		ar = 157687.129823326m²