Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28081 / 8145
↖ ↑ ↗
← N 79.219732°
W 25.746460°		 ← 114.26 m → N 79.219732°
W 25.740967°		 →
↑
114.23 m
↓
↑
114.23 m
↓
N 79.218705°
W 25.746460°		 ← 114.27 m →
13 052 m²		 N 79.218705°
W 25.740967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428489685058594 y=0.124290466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428489685058594 × 216)
    floor (0.428489685058594 × 65536)
    floor (28081.5)     		tx = 28081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124290466308594 × 216)
    floor (0.124290466308594 × 65536)
    floor (8145.5)     		ty = 8145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28081 / 8145 ti = "16/28081/8145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28081/8145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28081 ÷ 216
    28081 ÷ 65536     		x = 0.428482055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8145 ÷ 216
    8145 ÷ 65536     		y = 0.124282836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428482055664062 × 2 - 1) × π
    -0.143035888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44936050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124282836914062 × 2 - 1) × π
    0.751434326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36070055868929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44936050} λ = -0.44936050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36070055868929))-π/2
    2×atan(10.5983736350353)-π/2
    2×1.47672074308138-π/2
    2.95344148616277-1.57079632675     		φ = 1.38264516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44936050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.746460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38264516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.219732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28081 KachelY 8145 -0.44936050 1.38264516 -25.746460 79.219732
    Oben rechts KachelX + 1 28082 KachelY 8145 -0.44926462 1.38264516 -25.740967 79.219732
    Unten links KachelX 28081 KachelY + 1 8146 -0.44936050 1.38262723 -25.746460 79.218705
    Unten rechts KachelX + 1 28082 KachelY + 1 8146 -0.44926462 1.38262723 -25.740967 79.218705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38264516-1.38262723) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dl = 114.232030000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38264516-1.38262723) × R
    1.79300000000548e-05 × 6371000     		dr = 114.232030000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44936050--0.44926462) × cos(1.38264516) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.187043011196229 × 6371000     		do = 114.255500212864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44936050--0.44926462) × cos(1.38262723) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.187060624732595 × 6371000     		du = 114.266259467621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38264516)-sin(1.38262723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187043011196229-0.187060624732595)×R²
    abs(-0.44926462--0.44936050)×1.76135363658125e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.76135363658125e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.76135363658125e-05×40589641000000     		ar = 13052.2522541992m²