Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28081 / 7024
↖ ↑ ↗
← N 80.312728°
W 25.746460°		 ← 102.79 m → N 80.312728°
W 25.740967°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
N 80.311804°
W 25.746460°		 ← 102.80 m →
10 563 m²		 N 80.311804°
W 25.740967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428489685058594 y=0.107185363769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428489685058594 × 216)
    floor (0.428489685058594 × 65536)
    floor (28081.5)     		tx = 28081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107185363769531 × 216)
    floor (0.107185363769531 × 65536)
    floor (7024.5)     		ty = 7024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28081 / 7024 ti = "16/28081/7024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28081/7024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28081 ÷ 216
    28081 ÷ 65536     		x = 0.428482055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7024 ÷ 216
    7024 ÷ 65536     		y = 0.107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428482055664062 × 2 - 1) × π
    -0.143035888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44936050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107177734375 × 2 - 1) × π
    0.78564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46817508763745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44936050} λ = -0.44936050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46817508763745))-π/2
    2×atan(11.8008915964392)-π/2
    2×1.48625892845215-π/2
    2.97251785690431-1.57079632675     		φ = 1.40172153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44936050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.746460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40172153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.312728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28081 KachelY 7024 -0.44936050 1.40172153 -25.746460 80.312728
    Oben rechts KachelX + 1 28082 KachelY 7024 -0.44926462 1.40172153 -25.740967 80.312728
    Unten links KachelX 28081 KachelY + 1 7025 -0.44936050 1.40170540 -25.746460 80.311804
    Unten rechts KachelX + 1 28082 KachelY + 1 7025 -0.44926462 1.40170540 -25.740967 80.311804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40172153-1.40170540) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dl = 102.764230000727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40172153-1.40170540) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dr = 102.764230000727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44936050--0.44926462) × cos(1.40172153) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.168270410601721 × 6371000     		do = 102.788229356261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44936050--0.44926462) × cos(1.40170540) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.168286310580113 × 6371000     		du = 102.797941881594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40172153)-sin(1.40170540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168270410601721-0.168286310580113)×R²
    abs(-0.44926462--0.44936050)×1.58999783926028e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.58999783926028e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.58999783926028e-05×40589641000000     		ar = 10563.4522930438m²