Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28080 / 8016
↖ ↑ ↗
← N 79.351472°
W 25.751953°		 ← 112.86 m → N 79.351472°
W 25.746460°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
N 79.350457°
W 25.751953°		 ← 112.87 m →
12 742 m²		 N 79.350457°
W 25.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428474426269531 y=0.122322082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428474426269531 × 216)
    floor (0.428474426269531 × 65536)
    floor (28080.5)     		tx = 28080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122322082519531 × 216)
    floor (0.122322082519531 × 65536)
    floor (8016.5)     		ty = 8016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28080 / 8016 ti = "16/28080/8016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28080/8016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28080 ÷ 216
    28080 ÷ 65536     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8016 ÷ 216
    8016 ÷ 65536     		y = 0.122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122314453125 × 2 - 1) × π
    0.75537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37306827879126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37306827879126))-π/2
    2×atan(10.7302652719341)-π/2
    2×1.47787039192495-π/2
    2.9557407838499-1.57079632675     		φ = 1.38494446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38494446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.351472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28080 KachelY 8016 -0.44945637 1.38494446 -25.751953 79.351472
    Oben rechts KachelX + 1 28081 KachelY 8016 -0.44936050 1.38494446 -25.746460 79.351472
    Unten links KachelX 28080 KachelY + 1 8017 -0.44945637 1.38492674 -25.751953 79.350457
    Unten rechts KachelX + 1 28081 KachelY + 1 8017 -0.44936050 1.38492674 -25.746460 79.350457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38494446-1.38492674) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38494446-1.38492674) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(1.38494446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184783797437298 × 6371000     		do = 112.863683568856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(1.38492674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18480121225564 × 6371000     		du = 112.874320326917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38494446)-sin(1.38492674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184783797437298-0.18480121225564)×R²
    abs(-0.44936050--0.44945637)×1.74148183423317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74148183423317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74148183423317e-05×40589641000000     		ar = 12742.2466504073m²